Exponentielle d'une matrice

[titi07]

Bonsoir tout le monde,
j'ai une question à vous poser:
si on a une matrice qui vérifie :
alors comment on peut montrer que son exponentielle vérifie :
ou les sont les éléments de l'exponentielle de .

Pour la positivité des éléments,je suis arrivé à le faire mais le truc de la somme me pose un problème???
Merci pour votre aide.

Cordialement.
-----

[invitef3414c56]

Bonjour,
Sauf erreur, voici une idée:

Soit B=(b_{i,j}) la matrice transposée de A. L'exponentielle de B est la transposée de l'exponentielle de A.
On a pour tout i=1,...n, la relation:


Soit e_1,...,e_n, la base usuelle de \R^n et h l'endomorphisme dont la matrice est B dans cette base. Pour tout i, on a que la i-ième coordonnée de

est nulle, donc u=0. Mais alors pour tout k>=1, on a



Si g=\exp(h), on a donc



On ré-interprète en terme de matrice, on transpose et on devrait avoir le résultat.

Cordialement.