Exponentielle d'une matrice

[zaskzask]

Bonsoir,

Je cherche à calculer l'exponentielle d'une matrice. Ici,

Je trouve avec l'algorithme donné en classe (faut pas trop m'en demander, j'appplique juste les algorithmes)





Ici, et sont les vecteurs propres associés aux valeurs propres

A partir de là, quel est l'algorithme pour calculer exp(A)?

Je vous remercie d'avance.
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[invite3da4dc95]

Bonsoir !

Face à cette matrice, tu trouves deux vecteurs propres :



Ainsi, en notant , on a :

, où

Ainsi, pour tout entier k.

Comme , on a :

.

Sans difficulté, on arrive à avoir .

Une multiplication matricielle donnera alors le résultat :



En espérant que cela puisse t'aider.

Remarque : Le cas a = d n'est pas envisagé ici.

[zaskzask]

Ok merci (très bonne explication d'ailleurs!).
Comment fais-t'on lorsque ma matrice n'est pas diagonalisable?

[zaskzask]

par exemple qui a comme valeur propre et seulement un vecteur propre associé

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite3da4dc95]

Dans le cas a = d, on a :

, en notant la matrice élementaire, définie assez évidement.

À partir de là, en utilisant la formule du binôme de Newton, comme les deux matrices intervenant commutent, on obtient assez rapidement, pour tout entier naturel non nul k ,

, la dernière égalité étant vraie car

Ainsi, on a : , l'avant dernière égalité résultant d'un mini changement de variable dans la deuxième somme.

J'imagine qu'on peut le démontrer autrement, mais on ne peut en tout cas pas passer par la diagonalisation, étant donné que si b est non nul, la matrice est non diagonalisable (un vecteur propre (x,y) vérifie forcément by = 0, d'où y = 0 et on a un sous-espace propre de dimension 1), et que si b est nul, on a une matrice diagonale.

[taladris]

Ok merci (très bonne explication d'ailleurs!).
Comment fais-t'on lorsque ma matrice n'est pas diagonalisable?

Si une matrice A est trigonalisable, alors elle est semblable à une somme D+N, où D est diagonalisable, N est nilpotente et D et N commutent.

En particulier, puisque D et N commutent, on a exp(D+N)=exp(D)exp(N). D est diagonalisable, donc tu sais calculer son exponentielle et avec k tel que .

[zaskzask]

Je n'ai jamais vu la notion de matrice nilpotente mais j'ai lu quelque part que si la matrices n'était pas diagonalisable on pouvais calculer les quelques valeurs propres puis calculer les valeurs propres de (ou un truc comme ça, je n'en suis plus si sur) et que ça pourrais nous aider. Après, je vois pas trop pourquoi... Il me semble que cela avait un lien avec la décomposition de Jordan.

PS:Il est bien possible qu'il y ait plein de confusion ici.

[zaskzask]

Si une matrice A est trigonalisable, alors elle est semblable à une somme D+N, où D est diagonalisable, N est nilpotente et D et N commutent.

En particulier, puisque D et N commutent, on a exp(D+N)=exp(D)exp(N). D est diagonalisable, donc tu sais calculer son exponentielle et avec k tel que .

mais alors comment calculer ? Faut-il calculer tout les jusqu'a l'ordre k?
D'autre part, comment savoir pour quel k ??

[taladris]

mais alors comment calculer ? Faut-il calculer tout les jusqu'a l'ordre k?

Oui!

D'autre part, comment savoir pour quel k ??

En calculant tous les jusqu'à obtenir la matrice nulle. En effet, si , alors . De plus, on peut montrer que (avec n la taille de la matrice N).