Exponentielle d'une matrice et spectre (Dunford)

[invite282d0678]

Bonjour,

voici un exercice sur lequel je n'arrive pas à avancer :

Soit , montrer que si et seulement si

Mon prof m'a dit d'utiliser Dunford.
On a M = D+N avec D diagonalisable, N nilpotente et ces deux matrices commutent. On a alors . D est diagonalisable donc on sait calculer son exponentielle et N étant nilpotente on aura une somme finie. J'ai essayer de montrer que la partie réelle des valeurs propres de M était positive en supposant que la limite de l'exponentielle était nulle mais sans succès (et inversement mais sans plus de réussite ...).
Si quelqu'un pouvait m'apporter un peu de lumière ça serait le bienvenue.
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[Tiky]

Bonjour,

L'exponentielle transforme la somme en produit et non en somme... ça pourrait être plus simple
Tu as donc comme N et D commutent :

[invite282d0678]

J'ai écrit + mais c'était bien un produit dans ma tête -_-
Du coup je ne suis pas plus avancé ...

[Tiky]

Sauf erreur dans la démonstration de la décomposition de Dunford, on montre que les valeurs propres de D sont les valeurs propres de M.
Soit P une matrice et A une matrice diagonale telle que

Donc . Comme toutes les normes sont équivalentes sur cet espace vectoriel, on en prends une norme d'algèbre.
Alors :


Donc
est un polynôme en t de degré d. Donc
Il faut montrer que tend plus vite vers 0.

Il suffit de voir que

[A voir en vidéo sur Futura]

[Tiky]

Pour le sens direct de l'équivalence, un raisonnement par l'absurde permet de conclure rapidement.
En effet on peut prendre une norme |||.||| sur l'ensemble des matrices subordonnée à la norme ||.||.
Alors si , cela implique que pour tout vecteur , .

Si maintenant on suppose que M admet une valeur propre de partie réelle positive, on choisit x dans l'espace propre
associé à cette valeur propre et on calcul explicitement .