Wanted: ensemble de fonctions...

[invite8b175421]

Bonjour,

Je soumet à votre sagacité un problème en apparence simple sur lequel je bute, et pour lequel je suis à la recherche de toute piste aidant à sa résolution.

Il s'agit de trouver toutes les fonctions qui satisfont à:



avec pour contraintes :


Par exemple, la fonction constante égale à 1 est solution et la classe des sinus exponentiels (i.e. les sinus dont la fréquence varie exponentiellement avec le temps) en est une autre. Mais y'en a t'il d'autres?

Si parmi vous certains ont des idées concernant la méthodologie à adopter pour résoudre ce problème ou un problème proche, elles sont les bienvenues!

Merci à tous de votre aide!

Wédé
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[invitef3414c56]

Bonjour,

Je n'ai pas compris ce qu'est le "sinus exponentiel", pourriez vous expliquer ?.

Voici quelques idées.

Je vais supposer que e est une fonction continue. En fait à la fin j'aurais besoin de e dérivable. D'autre part, je ne traite que le cas de e non périodique, et je donne uniquement un schéma. Cela m'a l'air compliqué, j'espère que c'est correct (tout est à vérifier...); si cela l'est, peut-\^etre peut-on simplifier l'argumentation.

1) Noter que la famille de fonctions avec a dans \R et c>0 convient.

2) On a en utilisant que que

Comme e est non périodique, on a t_{nm}=t_n+t_m.

3) On déduit de l'égalité précédente que si n=p^k, p premier, on a t_n=kt_p.

4) Soient p_1,p_2 deux nombre premiers distincts. On se donne m grand, on définit k (dépendant de m) par



Je vous laisse vérifier que k/m converge vers Log p_2/(Log p_1).

5) Je vous laisse utiliser la croissance de la suite t_n pour montrer que k/m converge vers t_{p_2}/t_{p_1}.

6) On en déduit que t_p/(log p) est une constante c>0. Il résulte alors de l'égalité prouvée dans 2) que t_n=c\log n pour tout n>=1.

7) On regarde maintenant e(t)^{n+m}. On en déduit que



On pose u=t-c\log n. On a



8) Soit v>0. On fait tendre m, n vers l'infini, de façon que m/n tende vers v (densité de \Q dans \R). Par continuité de e, on obtient que

[tex) e(u-c\log(1+v))=e(u)e(u-c\log v) [/tex]

9) Il existe des points où e ne s'annule pas (car e est non constante car non périodique). Soit u_0 tel que e(u_0) est non nul. On fait tendre v vers 0, v>0, ce qui montre que e(x) tend vers 1 si x tend vers +\infty.

10) On montre que e n' s'annule pas. Si e(u_0)=0, l'égalité précédente montre que e(u)=0 pour u<=u_0. Comme il existe des points où e ne s'annule pas, l'ensemble A des x tel que pour tout y<=x on a e(y)=0 est non vide et majoré. Soit M sa borne supérieure. On a bien sur u(M)=0, et en prenant u=M+c\log(1+v) dans l'égalité 8), on trouve que



Comme le premier morceau tend vers 1 si v tend vers l'infini, il est non nul si v est assez grand. Mais alors l'autre morceau est nul si v est assez grand, contradiction avec la définition de M. Donc e ne s'annule pas.

11)La fonction e est strictement positive par le fait qu'elle est positive ou nulle (n=2) et qu'elle est toujours non nulle. On pose f(t)=\log e(t). On a



On dérive par rapport à v (on peut car la fonction e est dérivable), on fait t=c\log (1+v), puis on pose x=c\log(1+1/v). On trouve f'(x)=b\exp(-x/c) où b est une constante.

12) On intègre: f(x)=a\exp(-x/c)+d, on remet dans l'équation 11), on trouve que la constante d'intégration est nulle, donc f(x)=a\exp(-x/c) et e(x)=\exp(a\exp(-x/c)) pour x>0.

13) Soit h(x)=e(x)\exp(-a\exp(-x/c)), la fonction h vérifie encore les conditions de départ, et vaut 1 pour x>0. En utilisant le cas n de la relation de départ, on voit que h(x)=1 si x> -c\log n, finalement h=1 sur \R, et e(x)=\exp(a\exp(-x/c)) pour tout x.


Il reste bien entendu le cas où la fonction e est périodique.

Cordialement.

[invitef3414c56]

Je traite maintenant le cas périodique, qui parait en fait plus simple.

Soit T>0 la plus petite période positive de la fonction e. On écrit t_n=s_n+k_nT, où k_n est dans \Z et s_n dans [0,T].

On a



La suite s_n est une suite d'un compact. On peut donc en extraire une suite s_{n_k} qui converge vers un s dans [0,T].

Il en résulte que la suite (e(t))^{n_k} est convergente par continuité de e, vers e(t-s).

On a e(t) positive ou nulle. Si e(t)>1, la suite ((e(t))^n_k est divergente, contradiction. donc pour tout t, soit 0<=e(t)<1,auquel cas ((e(t))^n_k converge vers 0, et donc e(t-s)=0, soit e(t)=1, et donc e(t-s)=1. La fonction e(t-s) est donc une fonction continue qui ne peut prendre que les deux valeurs 0 et 1. Donc soit e(t-s) est constamment nulle, soit constamment égale à 1, et il en est de m\^eme de e.

Cordialement.

[inviteea028771]

Les solutions sont en fait assez dépendantes des .

Si par exemple , alors il y a beaucoup de solutions : il suffit de choisir une fonction (positive, histoire de pas avoir de soucis) sur , puis de l'étendre ensuite à tout R grâce à la propriété


Si par contre on a, par exemple, , les solutions sont beaucoup plus limités :

e^4(t) = e(t-t_4) = e(t-t_2-t_3) = e^3(t-t_2) = e^6(t)

Ce qui implique que e²(t) = 1 ou 0

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite8b175421]

Bonjour Jedojunior,

Merci beaucoup pour le temps que tu as pris pour regarder tout ça et pour la clarté de ta réponse.

Donc si je résume, et si tout est vérifié (ce que je n'ai pas pris le temps de faire), il y'a une seule et unique famille de fonctions non périodiques qui satisfont à la propriété énoncé précédemment, ce sont les fonctions du type:



Ai-je bien suivi? (Ici, c'est surtout l'unicité qui m'intéresse, même si secrètement j'espérais qu'il y'en ai d'autres...)

Et pour répondre à ta question, les sinus exponentiels (abus de langage) sont des signaux sinusoidaux dont la fréquence instantanée varie exponentiellement au cours du temps. On peut les écrire de la façon suivante:



avec:



Tu remarqueras la ressemblance entre ces signaux et la famille de fonctions que tu as précédemment exhibée, si on écrit le cosinus comme la somme de deux exponentielles.

Et ces signaux ne vérifient pas tout à fait la propriété précédente, mais la propriété suivante:



A ce propos, penses-tu qu'il soit possible de construire une base des fonctions non-périodiques vérifiant cette propriété à partir du résultat précédent?

Merci.

Wédé

[invite8b175421]

Re-bonjour Jedojunior,

Donc des fonctions périodiques qui vérifient la propriété précédente sont contantes égales à 0 ou 1 ? Donc, il n'y en a pas d'intéressantes...

Merci.

Wédé

[invite8b175421]

Bonjour Triss,

Merci pour tes réponses également.

J'aime bien ta façon de construire une fonction par récurrence qui vérifie cette propriété. Mais ne risque t'on pas d'avoir des problèmes de continuité aux points de raccordement?

Effectivement, dès que l'on met des contraintes fortes sur les , l'affaire se complique.

Mais l'important ici est seulement d'avoir une expression analytique des et qu'ils soient ordonnés.

Merci.

Wédé

[invitef3414c56]

Bonjour,

C'est cela: sauf erreur de ma part:

1) Les fonctions dérivables et non périodiques vérifiant la propriété sont les fonctions de la forme \exp(a\exp(-x/c)) , avec a dans \R non nul, et c>0; (On prend a non nul car on récupère pour a=0 la fonction constante et égale à 1, qui est périodique). Et on a t_n=c\log n.(Peut-\^etre peut-on virer la condition "dérivable" et remplacer par "continue" , mais cela va \^etre plus compliqué)

2) Comme solution périodiques continues, il n'y a que les deux constantes 0 et 1.

Merci pour la précision pour les sinus exponentiels. L'équation générale parait bien compliquée. Je vais essayer de regarder pour voir si j'ai des idées.

Bien cordialement.

[invitef3414c56]

Re bonjour,

J'ai un petit souci avec un exemple simple.

Je fais d'abord une remarque préliminaire. Soit a,b dans \R avec a>0. Si je remplace dans \cos(ax+b) la variable x par iy, avec y>0 , on a |\cos(aiy+b)| qui est équivalent à \exp(ay)/2 si y tend vers +\infty, cela se voir en utilisant l'expression du cosinus en fonction des exponentielles complexes.

Je considère maintenant e(t)=\cos(\exp(t)-1). Si j'ai bien compris, il existe pour n=2 des constantes a_1,a_2, t_1,t_2, avec t_2>t_1>=0 (t_1=0 ?) telles que l'on ait:



Soit



La fonction F est une fonction analytique de z dans tout \C. Elle est nulle sur ]0,+\infty[, donc nulle pour tout z dans \C par le théorème du prolongement analytique. Donc on a pour tout z dans \C.



Remplacez maintenant z par iy, y>0 grand et utilisez la remarque préliminaire; vous obtenez une inégalité de la forme


avec d constante et pour m le maximum de \exp(-t_1) et \exp(-t_2), donc <=1 puisque t_1 et t_2 sont positifs ou nuls. Si y tend vers +\infty, on a une contradiction, (sauf erreur de ma part dans ce qui précède).

Donc est-ce que j'ai bien toutes les bonnes hypothèses sur les constantes qui interviennent dans l'équation fonctionnelle ?

Est-ce que l'on a bien une suite t_n strictement croissante avec t_1=0 ? est-ce que vos \alpha_k sont indépendants de n, ou sont-ils des \alpha_{k,n} ?

Dans le cas de e(t)=\cos(\exp(t)-1), quelle est l'équation fonctionnelle pour n=2 par exemple ?

Bien cordialement.

[invitef3414c56]

Bonjour,

Voici une simplification pour le cas de l'équation originale. Je garde le début de mon premier message, jusqu'au moment où on a montré que t_n=c\log n, avec c>0. Remarquez que je n'ai pas utilisé la dérivabilité de e(t) pour arriver jusque là.

Je pose f(u)=e(-c\log u) pour u>0. Il est facile alors de voir que on a f(u)^n=f(un) pour tout u>0 et tout n\geq 1.

Par le cas n=2, on a f(u) positif ou nul. Si p,q sont des entiers non nuls, on f(up/q)^q=f(up)=f(u)^p. Si f(u_0)=0 pour un u_0>0, on a donc f(u_0p/q)=0 pour tout p,q. En utilisant la continuité, il vient f(u_0x)=0 pour tout x>0 en utilisant une suite de rationnels p/q de limite x, d'où f est nulle et e aussi. Si f ne s'annule pas, on a f(u)>0 pour tout u, on en déduit en prenant des racines q-ièmes que f(up/q)=f(u)^{p/q}, puis par continuité (m\^eme méthode que plus haut) que f(ux)=f(u)^x pour tout x>0, donc f(z)=\exp(az) en prenant u=1 et en posant f(u)=\exp(a). Ce qui conduit aux m\^emes solutions, mais uniquement avec une hypothèse de continuité.

Cordialement.

[invite8b175421]

Bonjour Jedoniuor

Alors effectivement, je m'aperçois que mon problème est mal formalisé. Il s'agit effectivement, comme vous l'avez justement remarqué, de trouver les fonctions , telles que :



Revenons sur l'exemple des sinus exponentiels. Prenons:



avec :

En utilisant les polynomes de Tchebychev à l'envers, on peut montrer dans un premier temps que:



ou les coefficients sont obtenus par récurrence en en inversant un système linéaire.

Ensuite, on s'aperçoit que si l'on choisit avec , on a:



D’où le résultat escompté. Et toute la question est donc de savoir s'il y'a d'autres familles de fonctions qui vérifieraient la même propriété...

Merci.

Wédé

Ps: je m'aperçois que j'ai écorché votre pseudo dans mes précédentes réponses, excusez-moi.

[invitef3414c56]

Bonjour,

Je vais modifier l'équation que vous donnez dans votre dernier message::



J'ai remplacé le N par n pour le plus grand indice de sommation, et mis t_k au lieu de t_n dans e(t-t_n). D'autre part, dans cette équation, il est clair que la suite t_k ne dépend que de k (donc on n'a pas une suite double t_ {n,k}).

Est-ce ce que vous \^etes d'accord avec cette formulation ?

(trouver les fonctions vérifiant ce type d'équations me parait d'ailleurs un problème pas facile).

D'autre part, j'ai toujours des soucis avec votre famille de solutions.

Je reprend votre égalité



avec



et a dans 2\pi \Z, a=2m\pi.

Elle s'écrit donc:



et compte tenu de l'hypothèse sur a:



ce qui, quand on fait t=0 conduit à 1=\cos(2m\pi/k), ce qui est évidemment incorrect pour certaines valeurs de k et m.

Mon impression est que votre famille est la famille des fonctions de la forme avec c>0 et a dans \R.(donc \exp(-t/c) au lieu de \exp(t/c) essentiellement, et pas de terme -1).

Pour le voir, on utilise comme vous l'avez signalé que cos(x)^n s'exprime comme combinaison linéaire des \cos(kx), 0\leq k\leq n:



(pour trouver les constantes, on peut aussi développer (\exp(ix)+\exp(-ix)/2)^n par la formule du bin\^ome, et regrouper habilement les différents termes, en distinguant n pair et n impair)

On y remplace x par a\exp(-t/c)=\psi(t), et on a bien cette fois-ci que \psi(t-c\logk)=k\psi(t).

Le cas de la fonction \ch(x) au lieu de la fonction \cos(x) devrait vous donner une autre famille, à savoir les fonctions e(t)=\ch(a\exp(-t/c)), avec c>0 et a dans \R; en effet, en développant ((\exp(x)+\exp(-x))/2)^n par la formule du bin\^ome, (ou en remplaçant x par ix dans la formule avec les cosinus), on va trouver des relations analogues à (*), et le reste est facile.

Plus généralement, comme la formule (*) pour n fixé dépend analytiquement de la variable a, je pense que l'on peut remplacer a par un nombre complexe quelconque, et on a une solution avec e(t)=\cos(a\exp(-t/c)); bien s\^ur, cette nouvelle famille de solutions est à valeurs complexes. Le cas de a imaginaire pur donne la famille correspondant à \ch, qui elle est à valeurs réelles.


Bien cordialement.

[invite8b175421]

Bonjour,

Merci encore pour les différentes réponses. J'essaye de synthétiser et de rédiger tout ça pour voir ce que ça donne, et je vous enverrai le résultat si ça vous intéresse.

Bien cordialement.

Wédé