Problème pour déterminer un ensemble de fonctions

[invite66b5b2e1]

Bonjour, je viens demander de l'aide car je bloque sur une question dont l'énoncé est le suivant:

Déterminer l'ensemble des fonctions f réelles continues de R dans R telles que pour tout réels x,y , f(xy)=f(x)+f(y).

L'exercice en lui même traite de la caractérisation des fonctions linéaires et cet exemple est une application de ce que j'ai démontré précédemment, à savoir que l'ensemble des fonctions continues en 0 vérifiant f(0)=0, f(Ax + y)=Af(x)+f(y) est l'ensemble des fonctions linéaires et que que l'ensemble des fonctions monotones au voisinage de 0 vérifiant f(0)=0, f(Ax + y)=Af(x)+f(y) est également l'ensemble des fonctions linéaires (A peut être un entier naturel ou un rationnel).

Le but serait sans doute de se ramener à un des cas généraux que j'ai étudié avant.

Je peux dire que si x et y sont strictement positif alors on peut composer avec ln et on a:
f(ln(x)+ln(y))=f(ln(x)) + f(ln(y)).

A partir de là je ne vois pas trop ce que je dois en conclure: A quoi correspond cet ensemble sur les réels positifs et comment l'étudier dans l'intervalle des réel négatifs.

Je vous remercie d'avance de votre aide!
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[invite57a1e779]

Déterminer l'ensemble des fonctions f réelles continues de R dans R telles que pour tout réels x,y , f(xy)=f(x)+f(y).

On utilise la caractérisation avec y=0, et on obtient que f est la fonction nulle. La continuité de f est une hypothèse inutile.

[invite66b5b2e1]

Mince quel abruti je me suis mélangé les pinceaux: les fonctions de l'ensemble vérifient f(xy)=f(x)f(y), l'hypothèse de la fonction nulle ne tient plus, en remplaçant y par 0 on obtient simplement que f(0)=0, et en remplaçant y par 1 on montre que f(1)=1.
Du coup ma composition avec les ln ne tient pas la route non plus.