Bonjour
Ci joint l'énoncé d'un exo dont je n'arrive pas à répondre à la dernière question n° 4 de la partie B
Les nombres de Fermat sont de la forme F(n) = 2^(2^n)+1, n dans IN
Puisque PGCD( F(n+k);F(n) )=1, on peut conclure que F(n+k) et F(n) sont premiers entre eux.
On sait aussi que F(n+k) et F(n) sont impairs
On sait aussi que les nombres F(n) de Fermat ne sont pas tous premiers
F(5)= 2^(2^5)+1=4294967295 non premiers.
Merci pour vos commentaires
puisque F(n+k) est premier avec F(n) ses facteurs premiers ne sont pas facteurs premiers de F(n) et comme il y a une infinité de F(n) il y a une infinité de nombres premiers (il y a des preuves plus rapides!)
Bonjour toothpick-charlie
Ce n'est pas facile cette chose à comprendre !
Si F(n)=p1*p2*...*pr facteurs premiers
et F(n+k)=q1*q2*...*qs facteurs premiers
avec les pi différents des qi deux à deux
et là je ne sais pas comment continuer.
Tu dis d'autres preuves plus rapides, tu penses à la démonstration d'Euclide peut être.
Bonjour.
Tu peux considérer la suite des Fn (à partir de n=2) : Chaque terme a des facteurs premiers qui ne sont pas des facteurs premiers des termes précédents. Donc à chaque terme, tu ajoutes au moins un nouveau facteur premier. Je te laisse écrire ça en termes mathématiques.
Cordialement.
F(2)=17
F(3)=257
F(4)=65537
F(5)=641*6700417
F(6)=274177*67280...721
C'est la limite de ma calculette.
Si F(n)=p1*p2*...*pi, alors F(n+1)=q1*q2*...*qr (tous les facteurs sont premiers et différents)
Mais il y a aussi tes termes qui sont premiers donc non factorisables.
J'ai écrit tout ça mais sans conviction!
salut,
en fait tu peux oublier les nombres de Fermat : tu as montré qu'il existe une infinité de nombres entiers premiers deux à deux. Ca suffit pour montrer qu'il y a une infinité de nombres premiers, puisque chacun de ces nombres a au moins un facteur premier, différent des facteurs premiers de tous les autres nombres de ta suite infinie.
Oui, je pense avoir compris avec ce que tu as écrit:tu as montré qu'il existe une infinité de nombres entiers premiers deux à deux.Ca suffit pour montrer qu'il y a une infinité de nombres premiers, puisque chacun de ces nombres a au moins un facteur premier, différent des facteurs premiers de tous les autres nombres de ta suite infinie.
Je suis un peu lent à la détente, mais quand même, ce n'est pas si facile que ça à comprendre ! C'est un exo à 4 étoiles...
Merci à tous de votre aide.
Il est peu probable que les 4 étoiles ne soient liées qu'à cette question, assez élémentaire, finalement (surtout quand deux personnes te donnent l'idée de la preuve !).
Une infinité, ça veut simplement dire "quand on en a pris un certain nombre, il en reste encore"; c'est assez intuitif, non ?
Cordialement.
Je dis 4 étoiles pour l'exo complet et non pour chercher des excuses! Je suis encore un apprenti des mathématiques.
J'espère que tu ne me reproches pas ça!
Apparament la dernière question est facile, mais je n'ai eu l'intuition qu'il fallait.
quand on est guidé, c'est toujours plus ou moins facile...
Et tant que je n'ai pas compris qulquechose je persiste.
Heureusement que vous êtes là pour nous aider! On vous remercie.Tout ça vous sera rendu sous d'autres formes.
Merci
