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Nombres de Fermat



  1. #1
    kaderben

    Nombres de Fermat

    Bonjour
    Ci joint l'énoncé d'un exo dont je n'arrive pas à répondre à la dernière question n° 4 de la partie B

    NombresFermat.jpg

    Les nombres de Fermat sont de la forme F(n) = 2^(2^n)+1, n dans IN
    Puisque PGCD( F(n+k);F(n) )=1, on peut conclure que F(n+k) et F(n) sont premiers entre eux.
    On sait aussi que F(n+k) et F(n) sont impairs
    On sait aussi que les nombres F(n) de Fermat ne sont pas tous premiers
    F(5)= 2^(2^5)+1=4294967295 non premiers.

    Merci pour vos commentaires

    -----


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  3. #2
    toothpick-charlie

    Re : Nombres de Fermat

    puisque F(n+k) est premier avec F(n) ses facteurs premiers ne sont pas facteurs premiers de F(n) et comme il y a une infinité de F(n) il y a une infinité de nombres premiers (il y a des preuves plus rapides!)

  4. #3
    kaderben

    Re : Nombres de Fermat

    Bonjour toothpick-charlie
    Ce n'est pas facile cette chose à comprendre !
    Si F(n)=p1*p2*...*pr facteurs premiers
    et F(n+k)=q1*q2*...*qs facteurs premiers
    avec les pi différents des qi deux à deux
    et là je ne sais pas comment continuer.

    Tu dis d'autres preuves plus rapides, tu penses à la démonstration d'Euclide peut être.

  5. #4
    gg0

    Re : Nombres de Fermat

    Bonjour.

    Tu peux considérer la suite des Fn (à partir de n=2) : Chaque terme a des facteurs premiers qui ne sont pas des facteurs premiers des termes précédents. Donc à chaque terme, tu ajoutes au moins un nouveau facteur premier. Je te laisse écrire ça en termes mathématiques.

    Cordialement.

  6. #5
    kaderben

    Re : Nombres de Fermat

    F(2)=17
    F(3)=257
    F(4)=65537
    F(5)=641*6700417
    F(6)=274177*67280...721
    C'est la limite de ma calculette.

    Si F(n)=p1*p2*...*pi, alors F(n+1)=q1*q2*...*qr (tous les facteurs sont premiers et différents)
    Mais il y a aussi tes termes qui sont premiers donc non factorisables.

    J'ai écrit tout ça mais sans conviction!

  7. A voir en vidéo sur Futura
  8. #6
    toothpick-charlie

    Re : Nombres de Fermat

    salut,

    en fait tu peux oublier les nombres de Fermat : tu as montré qu'il existe une infinité de nombres entiers premiers deux à deux. Ca suffit pour montrer qu'il y a une infinité de nombres premiers, puisque chacun de ces nombres a au moins un facteur premier, différent des facteurs premiers de tous les autres nombres de ta suite infinie.

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  10. #7
    kaderben

    Re : Nombres de Fermat

    Oui, je pense avoir compris avec ce que tu as écrit:tu as montré qu'il existe une infinité de nombres entiers premiers deux à deux.Ca suffit pour montrer qu'il y a une infinité de nombres premiers, puisque chacun de ces nombres a au moins un facteur premier, différent des facteurs premiers de tous les autres nombres de ta suite infinie.

    Je suis un peu lent à la détente, mais quand même, ce n'est pas si facile que ça à comprendre ! C'est un exo à 4 étoiles...
    Merci à tous de votre aide.

  11. #8
    gg0

    Re : Nombres de Fermat

    Il est peu probable que les 4 étoiles ne soient liées qu'à cette question, assez élémentaire, finalement (surtout quand deux personnes te donnent l'idée de la preuve !).
    Une infinité, ça veut simplement dire "quand on en a pris un certain nombre, il en reste encore"; c'est assez intuitif, non ?

    Cordialement.

  12. #9
    kaderben

    Re : Nombres de Fermat

    Je dis 4 étoiles pour l'exo complet et non pour chercher des excuses! Je suis encore un apprenti des mathématiques.
    J'espère que tu ne me reproches pas ça!
    Apparament la dernière question est facile, mais je n'ai eu l'intuition qu'il fallait.
    quand on est guidé, c'est toujours plus ou moins facile...
    Et tant que je n'ai pas compris qulquechose je persiste.
    Heureusement que vous êtes là pour nous aider! On vous remercie.Tout ça vous sera rendu sous d'autres formes.
    Merci

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