Nombres de Fermat

[invitebf1c7122]

Bonjour, je n'arrrive pas à résoudre l'exercice suivant . Quelqu'un pourrait-il m'aider? Merci d'avance.
La suite des nombres de Fermat est donnée par a_n=(2^(2^n)) + 1
Soit p₀=3 p₁=5 ... la suite infinie des nombres premiers impairs. Montrer que a_n supérieur à p_n pour tout n entier naturel en utilisant le postulat de Bertrand : si n est un entier naturel supérieur ou égal à 1, alors il existe toujours au moins un nombre premier p tel que n < p < 2n
-----

[bubulle_01]

Bonjour !
On démarre tout d'abord de
On peut alors majorer la suite en supposant que le prochain nombre premier impair ( de toute manière après 2 ils sont tous impairs) soit justement son double.
En effet, est premier, et entre et il y a au moins un nombre premier, qui est donc au maximum
De cette manière, tu prouves que , , et généralement,
Après tu utilises une récurrence, à partir du rang où les nombres de Fermat sont bels et bien supérieurs à cette expression (les cas précédents sont à traiter à la main).