Théorème de green riemann

[inviteede40645]

Bonjour,

Soit D l'ensemble définit par : 0<y ; x+y<4 ; y²-2x<0.

Je dois trouver l'aire de D avec Green Riemann (=14/3).

A(D) = 1/2 S (4à2) -t-4-t + 1/2 S (2à0) 2t²-4t² (à partir des paramétrisation de chaque morceau de la courbe étudiée).

= 1/2 S (2à4) 2t²-4 + 1/2 S (0à2) 2t² 14/3.

S est le symbole "intégrale"

Dans la correction ils posent P(x,y)=0 et Q(x,y)=x, mais je ne comprends pas, pourquoi, d'où il peuvent faire ça.. Mais ils trouvent 14/3...

Quelqu'un peut-il m'aider ?

Merci d'avance
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[inviteea028771]

Le théorème de Green-Riemann dit que pour P et Q assez régulières,



Et si tu prends P(x,y) = 0 et Q(x,y) = x, cela devient :



A gauche on a l'aire de D, et à droite une intégrale curviligne (qu'il faudra calculer en paramétrant chaque morceau)


Ici on prend ce P et ce Q là, car ça marche bien. L'idée, si on veut obtenir l'aire, c'est d'avoir

[inviteede40645]

Oui, mais si l'on prend P=1/2 et Q=1/2, on a

A(D)=1/2 S xdy-ydx, c'est la formule que l'on a vu en cours. Pourquoi ne fonctionne-t-elle pas ? Une erreur de calcule de ma part ou bien, elle ne s'applique pas ici?

[inviteea028771]

Cette formule fonctionne (enfin, si on pose P=-y/2 et Q=x/2), mais ici elle donnera des calculs plus complexes.

En posant P=0 et Q=x, ici on a une paramétrisation très simple et qui ne pose pas de problèmes : y=t

Si on prend le P et le Q que tu proposes, c'est un peu plus embêtant sur la courbe y²-2x=0, et en maths, on va au plus simple

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteede40645]

Pour cette courbe j'avais paramétrée de la façon suivante :

x=t²
y=2t... Et ça ne me donnais rien d'atroce, mise à part un résultat faut..

[inviteea028771]

Pour cette courbe j'avais paramétrée de la façon suivante :

x=t²
y=2t... Et ça ne me donnais rien d'atroce, mise à part un résultat faut..

Cette paramétrisation est fausse.

Sur la courbe y²-2x=0, si tu pose y= 2t, alors (2t)²-2x=0, ce qui entraine que x = 2t² et non t²

[inviteede40645]

Ah oui !!! mon erreur doit venir de la merci !