Nombre de petits hexagones dans un grand hexagone

[BaptisteJehan]

Bonjour à tous,

Je suis nouveau sur ce forum et m'oriente vers vous afin de m'aider à résoudre un problème de géométrie qui est le suivant.

Je dois déterminer le nombre de petits hexagones ( pleins) que je peux rentrer à l'intérieur d'un grand hexagone.(nombre d'hexagones qui ne
sont pas coupés afin de remplir l'espace du grand hexagone).

Je possède comme données:
La surface du grand hexagone : 4840801 mm²
La surface d'un petit hexagone: 2165.1 mm²
Longueur côté du grand hexagone: 682.5 mm
Longueur côté du petit hexagone: 50/ (3^0.5)

NB: Les longueurs des côtés des petits hexagones sont égales (angle de 120°) , idem pour le grand hexagone.

Merci à tous pour votre aide,

Cordialement,

Baptiste JEHAN
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[Tryss]

Ce genre de problèmes est en fait assez compliqué. On peut facilement obtenir une borne supérieure et une borne inférieure au nombre d’hexagones, mais le nombre optimal d'hexagones peut être difficile à obtenir (ça n'est pas toujours les arrangements les plus réguliers qui remplissent le mieux l'espace).

Est ce que tu te limites au pavage "sans trous" ou non?

[Dlzlogic]

Bonjour,
Sauf erreur de calcul, les valeurs numériques ne sont pas homogènes.
Il semble que ce soient des hexagones réguliers "Les longueurs des côtés des petits hexagones sont égales (angle de 120°) , idem pour le grand hexagone.", donc une seule dimension (aire, périmètre, côté, apothème, rayon du cercle circonscrit) suffit à définir un hexagone régulier.
Donc, je ne comprends pas la question.

[BaptisteJehan]

Je ne me limite pas au pavage "sans trou" car après avoir déterminé le nombre (entier) d'hexagones qui s'inscrivent dans le grand, j'ai pour
objectif d'en déduire la surface libre "inoccupée" à l'intérieur de celui-ci.

C'est un problème en effet très compliqué.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Dlzlogic]

Il faut une seule donnée pour le grand hexagone et pour le petit, soit la superficie, soit le longueur du côté.
Si c'est un exercice, il serait intéressant d'avoir l'énoncé exact.

[BaptisteJehan]

J'ai fais une erreur, la valeur du côté du grand hexagone est de 1365 mm

[BaptisteJehan]

Malheureusement, je n'ai pas d'énoncé puisque qu'il s'agit d'un problème d'ingénierie pour laquelle je suis confronté. Je dois remplir un conduit
cylindrique d'un maximum de tube circulaires.En résumé, le problème est donc de déterminer quel est le nombre maximum de tubes circulaires que je peux mettre à l'intérieur de ce conduit. ( Comme si je devais maximiser le nombre de fils de cuivre dans un gaine électrique).

Cependant, de l'air doit circuler entre ces tubes cylindrique. En imaginant introduire un tube circulaire inscrit dans un hexagone,
l'espace entre les côtés de l'hexagone et le tube représente le passage de l'air.

[Dlzlogic]

Bon, alors, je vous propose 47.
En effet, j'ai trouvé 2 options possibles, soit le nombre d'hexagones est pair à partir de l'axe, soit il est impair.
Le rapport des côtés (rapport d'homothétie) est 47.28
Cependant, je ne suis pas sûr que l'on puisse faire le calcul en assimilant des cercles à des hexagones dont ces cercles seraient leurs cercles inscrits, je suis même presque sûr du contraire.
Donc, la question serait plutôt : combien peut-on mettre de cercles de rayon diamètre 50mm dans un cercle de diamètre 1160mm (environ). Encore plus difficile.

[Dlzlogic]

Suite.
La "figure la plus rentable" avec 3 cercles est de les grouper en triangle équilatéral. Ceci constitue, je pense, la figure de base. Donc le problème est d'assembler ces groupes de 3 cercles.
Si c'était moi, je trouverais une cinquantaine de jetons ou de pièces de monnaie de même dimensions et je ferais l'organisation à la main.

[BaptisteJehan]

Etant donné que les tubes ( que l'on assimile à des cercles en vue de coupe ) touchent chaque côtés de l'hexagone; assembler des hexagones à la manière d'alvéoles que l'on trouve dans les niches d'abeilles nous permettrait de faire toucher les tubes entre eux, tout en laissant de l'air passer
dans leur interstices. Voila pourquoi je trouvais l'analogie intéressante, et l'assemblage en terme de surface plus facile à calculer que des cercles
dans un autre. Peut-être que j'ai emprunté la mauvaise direction...

Le problème en utilisant directement les aires des cercles est plus compliqué.

[BaptisteJehan]

Je me penche sur l'idée de les regrouper en triangle équilatéral, qui me semble être une idée interessante

[toothpick-charlie]

salut,

je n'ai pas la réponse, mais la formulation avec les hexagones me semble assez différente de celle avec les cercles, et je devine qu'on peut mettre plus de cercles que d'hexagones. en tout cas on a plus de liberté pour disposer les cercles.

[Dlzlogic]

Oui, mais dessinez un grand hexagone, son cercle inscrit : votre gaine. Vous allez bien réussir à caser un certain nombre de petits hexagones entre le cercle et les sommets de l'hexgone.
Le rapport des rayons est de l'ordre de 50, le rapport entre un côté et l'apothème 1.10 environ. Un petit dessin montre bien cela.

[Dlzlogic]

Ce problème est amusant.
D'abord, je pense qu'il est difficile, voire impossible, mais peut-être on peut trouver une formule approchée et procéder par récurrence.
L'assemblage de cercles par trois est le plus efficace. On doit pouvoir trouver le nombre de ces petits cercles contenus dans une figure géométrique simple, intérieure au grand cercle, par exemple l'hexagone inscrit.
Il reste donc 6 secteurs à remplir, ils ne sont pas identiques, mais une valeur approchée par défaut devrait pouvoir être évaluée assez facilement.

[Tryss]

Etant donné que les tubes ( que l'on assimile à des cercles en vue de coupe ) touchent chaque côtés de l'hexagone; assembler des hexagones à la manière d'alvéoles que l'on trouve dans les niches d'abeilles nous permettrait de faire toucher les tubes entre eux, tout en laissant de l'air passer
dans leur interstices. Voila pourquoi je trouvais l'analogie intéressante, et l'assemblage en terme de surface plus facile à calculer que des cercles
dans un autre. Peut-être que j'ai emprunté la mauvaise direction...

Le problème en utilisant directement les aires des cercles est plus compliqué.

Déjà je ne suis pas sur que l'air soit un vrai problème : même dans la situation la plus compacte, il y a toujours de l'espace dans les interstices

Mais sinon, c'est un problème classique dit de "packing" (classique ne veut pas dire simple)

Par exemple ici des solutions exacte de ce problème :

http://en.wikipedia.org/wiki/Circle_packing_in_a_circle

[Dlzlogic]

Bonjour,
J'ai regardé ce problème sur le plan strictement géométrique, en essayant de répondre à la question : " combien peut-on mettre de tubes de diamètre 100 dans un gros tube de diamètre 4728 ?"
Le positionnement des tubes le plus efficace est la disposition en triangle équilatéral.
Un tel assemblage élémentaire mesure 200 x 186.6.
Dans toute la suite, étant donné la grande disproportion des rayons (1 à 47) les arcs du gros tube sont considérés comme des segments vis à vis des petits tubes.
Soit un diamètre du gros tube, on peut installer 25 triplets. Il reste 63, ce qui est insuffisant pour ragouter un autre tube, il faudrait au moins 86.6
On évalue facilement que le nombre de tubes pouvant couvrir l'intérieur du gros tube est très proche de 147.

Considérant que le rangement le plus efficace est la disposition en triangle équilatéral, le nombre de tubes pouvant être disposés est égal au rapport des aires des sections. Le calcul donne 1881.75, soit 1881 petits tubes, maximum.
La question à se poser est : "quelle est la précision de ce résultat ?".
Il parait évident que ce nombre résulte d'une rentabilité idéale de l'espace utilisable, mais qu'en réalité, ce n'est pas possible.
On a vu que quand 2 tubes étaient proches du gros tube, il fallait 86.6 pour pouvoir disposer un tube supplémentaire.
Donc, prenons cette "sécurité" de 86.6. On a calculé que le positionnement maximum était de 147 tubes sur la périphérie.
Avec ce décalage de 86.6, ce nouveau périmètre ne permet plus que 142 tubes. Donc dans le cas le plus défavorable, tout étant égal par ailleurs, on peut positionner 5 tubes de moins.
J'en déduis donc que étant donné les hypothèses, on peut disposer entre 1876 et 1881 tubes.

Ceci est un essai de calcul, j'aimerais bien avoir d'autres avis et critiques.
Merci d'avance.