Produit

[invite65168d6a]

Bonjour.
Comment montrer que produit((X-exp(i*2*k*pi/n)^2),k=0..n-1) est égal a (X-1)^2 * (X+1)^2 * produit((X-exp(i*2*k*pi/p)^2) * (X-exp(-i*2*k*pi/n)^2,k=0..p-1) pour n paire : n= 2p ?
Et pour n=2p+1.

Merci d'avance de votre aide
-----

[invite65168d6a]

Aidez moi SVP

[Seirios]

Bonjour,

Une possibilité est de montrer que ces deux polynômes ont les mêmes racines avec même multiplicité et qu'ils ont même degré.

[gg0]

Bonjour.

A condition de corriger l'erreur sur le résultat (et une parenthèse manquante au début), il semble simplement qu'il y a regroupement des termes en fonction d'expressions conjuguées (1 et -1 n'ont pas de conjugués).
L'expression est différente si n est pair (facteur X+1) ou si n est impair (pas de X+1).

Lerad88, fais l'essai pour n=2, 4,6, .. tu verras ce qui se passe; puis pour n=3,5,7 ..
Il s'agit d'une classique factorisation de (X^n-1)^2 :
(X^n-1)^2 =produit((X-exp(i*2*k*pi/n))^2,k=0..n-1) = (X-1)^2 * (X+1)^2 * produit((X-exp(i*2*k*pi/p))^2 * (X-exp(-i*2*k*pi/n))^2,k=1..p-1)

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]