existence de structures différentielles

[Mocassins]

Bonjour.

Je découvre en survolant la topologie et la géométrie différentielle, en attendant d'approfondir un peu.

Je me suis rendu compte que j'avais mal compris comment les structures de variété différentielle se mettaient en place, pensant par exemple qu'une figure avec des "points anguleux" comme un triangle ne pourrait pas être munie de structure de variété différentielle. En fait la notion de point anguleux ne pouvant être définie dans le cadre des espaces topologiques, cette idée n'avait pas de sens (corrigez-moi si je me trompe svp).

Dans la catégorie des espaces topologiques, les ensembles de base ne comptent que pour leur classe cardinale et c'est la topologie choisie qui détermine réellement la forme de l'espace. Je me demande si c'est la même chose, à un autre niveau, pour les variétés différentielles.

Plus précisément j'aimerais savoir s'il existe des espaces topologiques qu'on peut munir d'une structure de variété topologique sans pouvoir les munir d'une structure de variété différentielle. Et s'il en existe, à quoi est due cette propriété?
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[invite4793db90]

Salut,

Dans la catégorie des espaces topologiques, les ensembles de base ne comptent que pour leur classe cardinale (?) et c'est la topologie choisie qui détermine réellement la forme de l'espace. Je me demande si c'est la même chose, à un autre niveau, pour les variétés différentielles.

Je ne comprends pas la partie soulignée : je veux bien des précisions ou des explications sur cette notion que je ne connais pas.
Concernant le rapport entre structure et objet, je pense que le cas des sphères exotiques est assez éloquent.

Plus précisément j'aimerais savoir s'il existe des espaces topologiques qu'on peut munir d'une structure de variété topologique sans pouvoir les munir d'une structure de variété différentielle. Et s'il en existe, à quoi est due cette propriété?

Je n'ai pas en mémoire de contre-exemple, mais il faudrait je crois chercher du côté d'objets pathologiques type fractales lisses, mais en moins lisse (!).

Cordialement.

[inviteea028771]

Dans l'article de wikipedia (en français) sur les variétés différentielles, on a ceci :

"Il existe par ailleurs des variétés topologiques qui n'admettent aucune structure différentielle (Michel Kervaire, 1960[4])."

cf ce lien, ou est construite une telle variété :
http://retro.seals.ch/digbib/view?ri...02:1960:34::22

[invite4793db90]

Salut,

cf ce lien, ou est construite une telle variété :
http://retro.seals.ch/digbib/view?ri...02:1960:34::22

Hum... Comme je le pressentais, ce n'est pas trivial.
Mais, et bien que je n'avais pas envisagé un lien aussi direct, il y a un lien direct avec les sphères exotiques !

Cordialement.

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteea028771]

Salut,


Hum... Comme je le pressentais, ce n'est pas trivial.
Mais, et bien que je n'avais pas envisagé un lien aussi direct, il y a un lien direct avec les sphères exotiques !

Cordialement.

Après il y a peut être des contres-exemples plus simples à construire aujourd'hui, cette référence a plus de 50 ans.

C'est juste le premier résultat concluant qu'une rapide recherche m'a révélé.

[Mocassins]

Merci pour vos réponses, j'avais réussi à rater le passage de Wikipedia qui répond rapidement à ma question.

Arf, Tryss, j'ai beaucoup de chemin à faire pour comprendre ce genre de document.
Sur Wikipedia, ils donnent une raison simple pour laquelle l'espace topologique constitué par la lemniscate de Bernoulli avec la topologie induite par celle de ne peut pas être muni d'une structure de variété topologique; j'aimerais bien avoir également un argument pour la version variétés différentielles.
Peut-être qu'il n'y a pas de version simple de l'explication.

@Martini_bird: Ma phrase un peu floue découle de l'observation suivante:

On considère une classe cardinale , où n'est pas vide. Soit une topologie (par les ouverts) sur (il en existe), et . Il existe donc une bijection .
Alors est une topologie pour et les deux espaces topologiques sont homéomorphes.
Donc au "regard de la topologie", les ensembles de la classe sont tous les mêmes.
L'existence d'un avatar de dont on connait suffisamment de propriétés (sans lien a priori avec la topologie) pour avoir pu montrer qu'il admettait une topologie de telle ou telle forme suffit à déterminer "toutes les topologies intéressantes" sur cette classe.
Bref, la conclusion est que si on parle de propriétés topologiques (par définition des propriétés d'espaces invariantes par homéomorphismes entre espaces, je ne sais pas s'il est possible de préciser de manière convaincante), on n'a aucune raison, autre que pour des questions de visualisation et d'habitude, de distinguer des ensembles équipotents.

Ma question est un prolongement de ce raisonnement: si on appelle "classe topologique" de l'espace topologique la classe des espaces topologiques homéomorphes à , on obtient le résultat analogue que s'il existe un atlas maximal tel que
est une variété différentielle, il en existe un pour tout élément de la classe et les variétés constituées sont alors difféomorphes.
On pourrait conclure que le "point de vue différentiel" ne distingue pas les variétés topologiques et que seule leur classe topologique ainsi que l'atlas choisi compte. Cependant c'est faux si comme semble l'annoncer Wikipedia, il existe des espaces topologiques qu'on peut rendre variétés topologiques mais jamais différentielles. A ce moment là, toute la classe topologique de ces espaces est logée à la même enseigne. C'est donc que "le point de vue différentiel" distingue les variétés topologiques a priori (ou plutôt les espaces topologiques transformables au mieux en variétés topologiques).

[invite76543456789]

Bonjour,
Justement ta construction n'epuise pas du tout les topologies que tu peux mettre sur ce que tu appelles alpha.
Le cercle et R sont equipotents et pourtant pas du tout homoeomorphes. C'est la topologie sur l'ensemble qui fait l'interet justement. Toutes les variétés topologiques compactes de dimension >0 sont equipotentes. Et pourtant ce sont sans doute l'un des objets de prime interet en topologie.

[invite76543456789]

En fait apres relecture je pense que comprendre ce que tu dis, tu dis que moralement on pourrait prendre un representant de chaque classe d'equipotence et définir les topologies sur l'ensemble (ahem) des elements de la classe uniquement en donnant les topologies possibles sur l'ensemble reprensentant. C'est bien entendu correct (puisque des ensembles equipotents, sont le "meme" ensemble, si je puis dire, apres simplement avoir renommé ses elements), mais ca n'a pas vraiment d'interet, je doute que l'on puisse de manière comode definir une topologie sur R qui le rende homeomorphe a S1, bien sur c'est possible (et quitte a rajouter un point a R, ca devient facile), mais ca n'a pas d'interet.
De la meme façon il n'y a pas lieu de distinguer entre des variétés topologiques homeomorphes. C'est la meme variété.

[Mocassins]

Ce que je voulais dire est qu'on peut mettre une topologie "de type cercle" sur , mais qu'alors l'espace topologique construit "est" un cercle d'un point de vue topologique. Cela vient du fait que l'image d'une union par une application est l'union des images, que l'image d'une intersection finie par une injection est l'intersection des images, et que pour application surjective, et .
Je ne fais que dire qu'en topologie les ensembles de base ne contiennent pas d'information utile autre que leur cardinal. C'est différent pour le mathématicien bien sûr.

Après, les termes "en topologie", "d'un point de vue topologique" sont flous voire non définis. J'aurais envie de dire que deux objets sont topologiquement indissociables si tout énoncé topologique vérifié par l'un est vérifié par l'autre, mais il faut alors définir "énoncé topologique". Si vous trouvez mieux que "énoncé invariant par isomorphisme d'espaces topologiques", je suis preneur.

Tout cela n'est que du blabla non mathématique, mais je trouve qu'il a un sens et c'est pourquoi je m'intéresse au cas de la structure différentielle.

[Mocassins]

Ah j'ai écrit en même temps que toi et n'ai pas eu le temps de modifier mon message en celui-ci:

Je suis bien d'accord.

Justement, la situation est différente pour le passage [espace topologique] --> [variété topologique], puisque certains espaces topologiques ne peuvent pas vérifier les prérequis de la définition de variété topologique.
Outre les prérequis qui sont clairs et dont la lecture permet de dire "directement" si un espace topologique peut être muni d'une structure de variété topologique (par ex le fait d'imposer que l'espace soit à base dénombrable; pour les variétés de dimension finie le fait d'imposer que les cartes soient lues sur des puissances de donc que l'espace soit à la puissance du continu), il y a les conditions d'existence et de régularité de l'atlas qui sont plus difficilement décortiquables.

Je pense que comprendre ces conditions au niveau des variétés différentielles peut être intéressant, d'où l'utilité de se demander pourquoi un espace vérifiant les prérequis pour variétés topologiques est impropre à être muni d'un atlas par exemple.

[Mocassins]

Ah j'ai écrit en même temps que toi et n'ai pas eu le temps de modifier mon message en celui-ci:

Je suis bien d'accord.

Justement, la situation est différente pour le passage [espace topologique] --> [variété topologique], puisque certains espaces topologiques ne peuvent pas vérifier les prérequis de la définition de variété topologique.
Outre les prérequis qui sont clairs et dont la lecture permet de dire "directement" si un espace topologique peut être muni d'une structure de variété topologique (par ex le fait d'imposer que l'espace soit à base dénombrable; pour les variétés de dimension finie le fait d'imposer que les cartes soient lues sur des puissances de donc que l'espace soit à la puissance du continu), il y a les conditions d'existence et de régularité de l'atlas qui sont plus difficilement décortiquables.

Je pense que comprendre ces conditions au niveau des variétés différentielles peut être intéressant, d'où l'utilité de se demander pourquoi un espace vérifiant les prérequis pour variétés topologiques est impropre à être muni d'un atlas par exemple.