factorisation nombres mersenne

[kaderben]

Bonjour
Ci joint l'énoncé d'un exo sur les nompbres de Mersenne



1°) Mp=2^p-1, p premier impair
q divise 2^p-1 qui impair et qui n’est divisible que par un nombre impair, donc q premier impair.
2°) Dans les exercices précédents on a démontrer que le plus petit élément existe, il est supérieur ou égal à 1 et il divise n, (a^n=1(p))
Soit h l’ordre de 2 modulo q
Donc h divise p et les diviseurs de p sont p et 1
Comme 1 n’est pas premier alors h=p
P est l’ordre de 2 modulo q
3°) Th de Fermat :2^(q-1)=1(q) et h divise q-1, donc p divise q-1
4°) q-1=mp, m entier naturel
q-1 pair car q impair
donc mp pair, mais p impair, soit m pair

q-1=mp, d’ou q=mp+1=2p*k+1, k entier et m=2k
1<2p, donc q=1(2p)

Je laisse la 5° question pour la suite.

Merci pour vos commentaires
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[kaderben]

Bonjour
Je n'ai pas reçu de réponse, donc mes réponses sont correctes je pense
Merc

[kaderben]

Bonjour
Voici les réponses pour la 5°) question
pour M₂₃:
q=1(2p) soit q=1(46)
On remarque que 47 est premier et 47=1(46)
On détermine les restes de 2^q(47), q={1,2,3,4...}
2^11=27(47)
2^22=27^2(47)=24(47)
2^23=48(47)=1(47)
soit 2^23 - 1=0(47)
donc M₂₃ n'est pas premier

Pour M₁₇ et M₁₉:

On applique la même méthode en calculant les restes puis p et voir si c'est un facteur sinon déterminer un autre p et ainsi de suite. C'est long comme processus et en plus on s'aide de la calculette.
finalement M₁₇ et M₁₉ sont premiers

Question: y'a t il une autre méthode plus pratique que celle là ?
Merci