Bonjour,
Je cherche à répondre a cette question, mais je ne sais pas comment.. J'ai tout essayé..
Énoncé:
Soit u : IR*[X] -> IR[X] définie par
u(P) = (2X + 1) P − (X² − 1) P′
Soit λ un réel tel que u(P) = λP.
Montrer que deg (P) = 2.
Comment puis-je faire ça ? Pouvez-vous m'aider ? Merci d'avance!
bonjour
u(P) = (2X + 1) P − (X² − 1) P′
Soit λ un réel tel que u(P) = λP.
Montrer que deg (P) = 2.
je travaille sur le coefficient dominant de P : (2X+1)P et (X²-1)P' sont des polynomes de degré n+1 si deg(P)=n
dom((2X+1)P) =2dom(P) dom(P) est le coefficient dominant de P
dom((X²-1)P') = ...... au final n=2
Si j'ai bien compris:Envoyé par aghrayl
dom((2X+1)P) =2dom(P)
et dom((X²-1)P') = dom(P')
ce qui implique que dom(u(P)) = 2dom(P) - dom(P') , correct?
Mais comment on déduit le degré depuis le coefficient dominant dans ce cas là? et on ne vas pas utiliser u(P) = λP? Merci
Bonjour Annven.
Quel est le coefficient dominant de P' (il dépend du degré !) ?
Et tu vas évidemment utiliser u(P) = λP puisque c'est ta seule hypothèse !
Bon travail !
NB : On peut aussi poser P(X)=anXn+an-1xn-1+...+a0 avec.
on sait de plus que dom(P')=n*dom(P) si n est différent de 2 l'équation est impossible car u(P) de degré n+1 et lambda*P de degré n
dom(P')=n*dom(P) avec n = deg (P) ==> n=dom(P')/dom(P)Bonjour Annven.
Quel est le coefficient dominant de P' (il dépend du degré !) ?
Et tu vas évidemment utiliser u(P) = λP puisque c'est ta seule hypothèse !
Bon travail !
NB : On peut aussi poser P(X)=anXn+an-1xn-1+...+a0 avec
Pourquoi u(P) est degré n+1? je pensais que deg(u(P)) ≤ max(d°((2X+1)P),d°((X²-1)P')), puisque (2X+1)P et (X²-1)P' ont le même deg, non?
Bonjour Annven.
Quel est le coefficient dominant de P' (il dépend du degré !) ?
Et tu vas évidemment utiliser u(P) = λP puisque c'est ta seule hypothèse !
Bon travail !
NB : On peut aussi poser P(X)=anXn+an-1xn-1+...+a0 avec
dom(P')=n*dom(P)
D'où dom(u(P)) = 2dom(P) - dom(P') = 2dom(P) - n*dom(P) = λ dom(P)
Ce qui donne n = 2 - λ
en fait dom(u(P)) = (2-n)dom(P) si n est différent de 2 dom(u(P)) est aussi le coefficient du terme de degré n+1
auquel cas ne peut pas être égal à lambda*P car ce dernier est de degré n
reste la possibilité n=2
Oui je comprends maintenant..
puisque 2 - n ≠ 0 on sait que deg (u(p)) = n + 1 car la soustraction des deux coefficients ne donnera pas 0
et deg (u(p)) = n +1 = n ce qui est absurde! Donc n = 2
Merci énormément les gars!
