La nature d'une série

[invitec64e4f8e]

Salut à tout le monde.
Est-ce que quelqu'un peut me dire pourquoi la nature d'une série ne change pas même si on modifie un nombre fini de ses termes?
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[gg0]

La nature d'une série (convergente ou divergente) ne dépend que de l'infinité de ses derniers termes. Pour toute suite (la série est la suites des sommes partielles), la convergence est une question de limite, donc de al façon dont les termes se comportent à l'infini.
Par contre si la série converge, sa valeur dépend des termes considérés, y compris les premiers :
mais

Cordialement.

[invite029139fa]

Modifier la somme des d'un nombre fini de termes revient à regarder la somme des où les sont tous nuls à partir d'un certain rang. Donc la nature de la somme à l'infini reste inchangée. Tu peux aussi voir ca comme ceci :

On se place dans l'espace vectoriel des suites indexées sur . Tu peux considérer le sous espace vectoriel des suites telles que la somme des termes converge vers un valeur finie (tu peux, sur une feuille, le dessiner comme un plan dans par exemple - juste pour "visualiser"). Les suites à support fini (comme la suite ) appartiennent à cet espace. Ta question est alors une conséquence très simple de la définition d'un espace vectoriel et de la stabilité par addition.

Cordialement.