Exo d'oral CCP Algèbre

[inviteda3529a9]

Bonjour.
Pourriez vous m'aider à répondre à cette question d'oral ?

E un Kev de dim n, f un endomorphisme de E tel que rg(f)=1

Montrez que f est diagonalisable ou nilpotent

Merci d'avance à tous
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[invite9a322bed]

Bonjour,
Si tu prends une matrice A avec de telles propriétés, celà signifie que 0 est une valeur propre d'ordre n-1.
Indices :
- Polynôme caractéristique, et théorème de Cayley-Hamilton.

[inviteea028771]

Et de façon plus intuitive :

Si rg(f) = 1, on note Im(f) = Vect(u)

Alors il y a deux cas :
Soit f(u) = 0, et dans ce cas f est nilpotente d'ordre 2 (il suffit de calculer f(f(a.u+v)), avec v dans Ker(f) )
Soit f(u) = a.u, et dans ce cas, en construisant une base B de la forme (u,v1,v2,...vn), la matrice de f est diagonale dans cette base (dont le seul coefficient non nul est d'ailleurs a, en position 1,1)

Bon, ça n'est probablement pas le genre de réponse attendue aux oraux CCP

[inviteda3529a9]

Comment ça "ça n'est probablement pas le genre de réponse attendue aux oraux CCP" ?
Je trouve que c'est bon ce que vous avez dit ???

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteda3529a9]

Pourriez vous détailler un peu plus votre réponse ?

[inviteea028771]

En fait, j'ai écrit une bêtise concernant mon deuxième cas : c'est un peu plus compliqué que cela ^^

[invite76543456789]

Bonjour,
UNe matrice de rang 1 verifie f²=Tr(f)f (facile à voir en se placant dans une base telle que celle constuite par Tryss).

[inviteda3529a9]

Pourriez vous m'aider d'avantage s'il vous plait ?

[invite76543456789]

Est ce que tu arrives deja a prouver que f²=Tr(f)f pour un endomorphisme de rang 1 (c'est un petit calcul matriciel)?
Si oui, alors tu as a discuter deux cas.
Tr(f)=0, alors f est nilpotent.
Tr(f) non nul, et dans ce cas le polynome X²-Tr(f)X annule f et est scindé a racines simples.