Tenseur d'Einstein

[inviteafe88240]

Bonjour, en Relativité Générale le tenseur d'Einstein est d'une grande importance; il permet en effet de construire les équations du champs. Mais Einstein ne s'est pas levé un matin en se disant :

"Tiens je vais construire un tenseur(je vais lui donné mon nom.). et je vais l'écrire ainsi :
oh mais tiens on dirait bien que sa dérivée covariante est nulle!.".

Non bien sûr; sa construction peut être démontré comme celle du tenseur de Riemann. Néanmoins après beaucoup de recherche je n'ai trouvé aucune démonstration on ne fait que donner sa forme littérale(et parfois ses propriétés.). mais jamais de démonstration.
Par contre j'ai vu que l'on peut démonter sa construction grâce aux identités de Bianchi :
Mais pareil aucune démonstration dans tous ce que j'ai vu...

Quelqu'un, s'il lui plaît, aurait-il une démonstration de la construction du tenseur d'Einstein? Parce que là j'ai besoin d'aide.

Merci d'avance et bonne après midi.
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[jacquolintégrateur]

Bonjour
Tu trouveras ça dans "Gravitation and Cosmology" Steven Weinberg. John Wiley 1972. Ch. 7: "Einstein's Field Equations" et, bien sur, également, dans M.T.W et, d'une façon générale, dans tout ouvrage sérieux sur la RG.
Historiquement, cela a donné des soucis à Einstein !! car il n'avait pas vu qu'il fallait rajouter le terme en 1/2 R g_ik au tenseur de Riemann contracté pour obtenir une divergence nulle ... David Hilbert y avait pensé avant lui!!
Cordialement

[inviteafe88240]

Bonjour et merci Jacquolintégrateur. Merci pour les livres. Toutefois, Einstein aussi a développé une méthode plus intuitive pour trouver ce tenseur, non?

[jacquolintégrateur]

Bonjour
Il faudrait se reporter à un ouvrage historique sur la gestation de la RG. En principe, Einstein cherchait à généraliser l'équation de Poisson pour le potentiel de gravitation, laquelle est linéaire et ne contient que les dérivées secondes. Il fallait donc partir d'une expression ne contenant que les g_ik (qui allaient tout naturellement jouer le rôle de potentiels), leurs dérivées premières et secondes et soit linéaire par rapport à celles ci (pour que l'approximation linéaire de la théorie redonne la théorie de Newton-Poisson, comme il se doit). Le tenseur le plus simple satisfaisant à ces conditions, est le tenseur de courbure contracté mais sa divergence n'est pas nulle, contrairement à celle du tenseur énergie-impulsion (contenant le terme de masse et qui devait figurer au second membre). Ce point avait, semble-t-il, échappé à ,Einstein. Hilbert avait démontré (en utilisant les identités de Bianchi) que le tenseur le plus simple satisfaisant à toutes les conditions était la combinaison R_ik-1/2Rg_ik + ag_ik, a étant une constante. Je crois me souvenir (si l'on suit les documents historiques) qu'ils ont fini par s'arranger pour que Einstein conserve l'entière paternité de la RG !! Depuis, d'autres dérivations de ces équations ont été trouvées, y compris la dérivation lagrangienne due à Hermann Weyl.
Cordialement

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteafe88240]

Merci du petit topos historique(cela aide de voir les démarches historiques aussi.). .

Toutefois, est-ce vrai que, je vous prie, que :

?

Merci d'avance et bonne après midi.

[Amanuensis]

Annullé.....

[jacquolintégrateur]

De façon générale, R_[ab][cd] est antisymétrique sur chacun des couples a,b et c,d et symétrique sur chaque couple d'indice pris, l'un dans un crochet et, l'autre, dans l'autre crochet. Pour le voir aisément, il suffit d'écrire l'expression du tenseur de courbure en coordonnées géodésiques locales: les composantes de la connexions affine sont, alors, nulles mais pas leur dérivées de sorte que R ne contient plus que les dérivées secondes de g_ik et l'expression est linéaire. Avec les relations générales de symétries, indiquées ci dessus, on peut déduire toutes les autres. Les identités de Bianchi s'écrivent: R_abcd;h +R_abhc;d+ R_abdh;c = 0. Le point virgule représente une dérivée covariante sur l'indice qu'il précéde.
Bon courage.
Cordialement

[albanxiii]

Bonjour,

La fonction "rechercher" du forum ne doit pas être utilisée avec modération !
Tenez : http://forums.futura-sciences.com/ph...-courbure.html

@+

[invitea29d1598]

Bonjour

Ce point avait, semble-t-il, échappé à ,Einstein. Hilbert avait démontré (en utilisant les identités de Bianchi) que le tenseur le plus simple satisfaisant à toutes les conditions était la combinaison R_ik-1/2Rg_ik + ag_ik, a étant une constante. Je crois me souvenir (si l'on suit les documents historiques) qu'ils ont fini par s'arranger pour que Einstein conserve l'entière paternité de la RG !! Depuis, d'autres dérivations de ces équations ont été trouvées, y compris la dérivation lagrangienne due à Hermann Weyl.

de quelle(s) source(s) tirez-vous tout cela ?

- Hilbert avait effectivement soumis un article avant Einstein, mais apparemment l'équation était fausse et si dans la version finale de son article il y a la bonne, c'est parce que celui d'Einstein était paru entre temps (d'ailleurs il le cite)

- c'est Lovelock qui a montré que la forme que vous citez est la plus générale en d=4 (cf les généralisations en dimensions supérieures : Lovelock theory )

- si le lagrangien de Einstein-Hilbert porte ce nom c'est bien parce que Hilbert a introduit le formalisme lagrangien de la RG et non Weyl...

[inviteafe88240]

Bonjour c'est "re" moi.

Si on a l'égalité :



elle est équivalente à




et donc à



soit à(ne vous moquez pas de moi parce que je détail autant; je manque un peu de confiance en moi.).

quelque soit le triplet (u, y, v) ou chacun des u y v va de 0 à 3.


On peut donc écrire :


Non? Et c'est cela la fameuse identité d'Einstein "avec les covariants.".


Merci d'avance et bonne soirée.

[inviteafe88240]

[jacquolintégrateur]

@ physic-theory
Bonjour
Les deux premières égalités sont classiques; On passe, de la seconde à la première, en faisant passer simplement g^uv dans la parenthèse, ce qui est possible car la dérivée covariante de g_ik est identiquement nulle dans l'espace de Riemann.
Cordialement.

[inviteafe88240]

Donc mon raisonnement est bon merci de me répondre.

[jacquolintégrateur]

@ Rincevent
Bonjour
C'est possible. Je ne connais pas les dates exactes.Je crois, pourtant que Hilbert a utilisé le formalisme lagrangien dans un cadre plus général. H. Weyl l'emploie pour développer la RG en introduction à la théorie qu'il présente avec l'ambition de décrire de façon unitaire la gravitation et l'électro-magnétisme: "Temps, Espace, Matière".Edd. Albert Blanchard. Paris 1922. Pour ce faire, H. Weyl a créé une variante de la géométrie différentielle introduisant un "vecteur de jauge" à côté du tenseur métrique.
Cordialement.

[inviteafe88240]

Bon ok dernière question; revenons à Newton et sa physique classique; l'équation de Poisson est :

où est la masse volumique du corps qui induit un champ de gravitation; et en chaque point la force F (et donc le vecteur g champ de pesanteur.). dérive du potentiel de gravitation ; toutefois comment à t on construit cette équation? Est on parti de la formule du potentiel de gravitation(-GM/r.). pour déduire l'égalité ou alors l'a t on d'abord construite pour déduire de la formule du potentiel de gravitation(-GM/r.). ?

Merci d'avance et bonne après midi.

[jacquolintégrateur]

@ physik_théorie
Il n'y a aucun problème. Si tu souhaites connaître en détail la théorie du potentiel newtonien, le mieux est de consulter un bouquin de mathématiques pures: les chapitres traitant des fonctions harmoniques. Dans le cas de deux dimensions, ça coïncide avec la théorie des fonctions analytiques de la variable complexe. Bon courage.
Cordialement