Bonjour,
je vais être direct: pourquoi le tenseur d'Einstein sur une surface de dimension 2 (par exemple une sphère) doit être nul ?
Y a-t-il une raison physique ou est-ce juste une conséquence mathématique de sa construction (à laquelle je ne comprends d'ailleurs pas tout...)
http://fr.wikipedia.org/wiki/Tenseur_d%27Einstein
merci d'avance aux nombreux experts de ce forum !
Personne ??
Bonjour,
C'est mathématique.
Revoyez la définition du tenseur de Riemann et les propriétés de symétrie par rapport à ses indices.
Rappel : siest antisymétrique par rapport à
@+
Not only is it not right, it's not even wrong!
Merci !
en fait ce que je ne comprends pas, c'est que le tenseur est identiquement nul pour une surface 2D, alors qu'il ne l'est pas nécessairement pour une "surface" 3D...en quoi la dimension de la surface intervient, c'est ce qui me tracasse...!
PS je travaille sur le cours : http://www.sciences.ch/htmlfr/algebr...ensoriel01.php
voir tout en bas de la page pour ce qui m'intéresse.
Dernière modification par benjgru ; 13/05/2013 à 15h06.
Re,
Vous n'avez pas lu ma réponse ?
Comment formez-vous le tenseur de Ricci à partir de celui de Riemann ?
Combien de valeurs peuvent prendre les indices du tenseur de Riemann en 4D ? 3D ? 2D ?
@+
Not only is it not right, it's not even wrong!
Oui en fait je m'aperçois que je n'ai rien compris à la construction du tenseur d'Einstein à partir de ceux de Ricci et de Riemann...je retourne travailler le cours (mais c'est tout de même ardu comme théorie !)
merci tout de même !
Bon alors d'après ce que j'ai compris, d'après l'équation d'Einstein ce tenseur est égal au tenseur impulsion-énergie fois une constante...
or le tenseur impulsion-énergie est la matrice des densités volumiques d'énergie , donc il est nul sur une surface car la densité volumique d'énergie est nulle sur une surface...ai-je bien compris?
sinon, où est mon erreur ? merci !
Bonjour,
Le fait que le tenseur énergie-impulsion soit égal au tenseur d'Einstein est l'équation qui est au coeur de la relativité générale. Mais ta question initiale n'est pas une question de relativité générale, c'est de la pure géométrie. Donc ton explication ne tient pas. Je te mets ici quelques questions pour te guider dans ta compréhension :
As-tu bien compris que le tenseur d'Einstein est un objet purement géométrique, qui ne dépend QUE de la métrique de ton espace ? En gros, la construction "classique", c'est :
1) Métrique (2 indices, symétriques)
2) Coefficients de Christoffel (3 indices, un en haut, deux en bas symétriques)
3) Tenseur de Riemann (4 indices avec certaines symétries)
4) Tenseur de Ricci (2 indices, symétriques)
5) Scalaire de Ricci (pas d'indice)
6) Tenseur d'Einstein (2 indices, symétriques)
Es-tu à l'aise avec cette construction ? Pourrais-tu expliciter ce que j'ai mis en gras ?
Si tu es en dimension 2, combien de coefficients indépendants possède la métrique ?
Re,
On en revient à ce que je disais plus haut....
Le fait qu'un tenseur relatif au contenu en énergie-impulsion de l'espace temps soit relié à un tenseur relatif à la géométrie dudit espace-temps est le coeur du noyau dur de l'essence de la théorie de la relativité générale.
Mais vu les autres questions de benjgru, il me semble qu'il est un peu ambitieux de s'attaquer au moindre tenseur pour le moment....
@+
Not only is it not right, it's not even wrong!
Oui en effet je n'ai pas tout compris à la construction des tenseurs, je le reconnais modestement (j'ai une formation de physicien , pas de matheux).
Vu que la théorie de la RG est une théorie physique (du moins je le croyais), je pensais qu'il y avait une explication physique à la nullité de ce tenseur en 2D, je me trompais...!
Merci quand même, pas sûr que j'ai le courage de me lancer dans les symboles de Christoffel , les connexions affines, les dérivées covariantes et tout le bazar...c'est vraiment très ardu !
en comparaison la relativité restreinte est vraiment plus facile au niveau du bagage mathématique...
Bonjour,
une onde électromagnétique se propageant dans le vide en dimension 4 (l'espace-temps qu'on connaît)
est transverse : les champs E et B sont perpendiculaires à la direction de propagation.
Il n'y a donc que deux degrés de liberté indépendants qui vivent dans le plan perpendiculaire à la direction de
propagation i.e on a deux polarisations.
La même structure mathématique en dimension d donne d-2 polarisations.
En particulier, en dimension d=2 d'espace-temps, on a 0 polarisation (l'espace étant de dimension 1, il
est difficile d'être transverse) : il n'y a pas de propagation de degrés de libertés physiques dans le vide
pour l'électromagnétisme en dimension deux.
Si on pense que la gravitation est analogue à l'électromagnétisme, on peut s'attendre à ce que les variations
de champ gravitationnel dans le vide soit localement décrites par des ondes transverses, avec d-2 polarisations
et en dimension d=2, il n'y a pas de propagation de degrés de libertés physique.
Ce qui précède n'a presque aucun rapport avec la preuve de la nullité du tenseur d'Einstein en dimension 2
(qui comme cela a été rappelé est un fait mathématique) mais vise à donner une raison intuitive du fait
qu'une théorie gravitationnelle dynamique ressemblant plus ou moins à l'électromagnétisme
(comme la relativité générale) est nécessairement plus ou moins triviale en dimension 2.
de ma mémoire, il y a des bouquins entiers concernant la gravitation en dimension 2, pas gros d'accord, mais ils existent, êtes vous sûr que rien ne se propage? Je crois me souvenir que la quantité de mouvement n'est pas conservée dans une relativité en dimension 2 avec constante cosmologique positive, mais ça n'est plus le cas avec constante négative (ou c'est l'inverse). Pour moi, ça n'a rien de trivial.
j'aspire à l'intimité.
Envoyé par 0577
Merci pour ta réponse .
Tu penses aux ondes gravitationnelles qui sont des perturbations de la métrique quand tu suggères cela...qu'en est-il pour un espace-temps uniforme et statique ?
salut
@kalish : ce que tu as en tête c'est de la gravité en 2+1=3 dimensions. Dans ce cas c'est le tenseur de Weyl qui est identiquement nul et tous les degrés de liberté du Riemann sont contenus dans le Ricci, ce qui implique bien l'absence d'ondes gravitationnelles et un espace-temps plat dans le vide (si pas de constante cosmologique). Si tu passes en 1+1 c'est "encore plus simple".
[edit] suis pas certain que ce message soit top utile finalement....
Dernière modification par Rincevent ; 15/05/2013 à 19h50.
Ceux qui manquent de courage ont toujours une philosophie pour le justifier. A.C.
Si si, c'est utile, le bouquin en question est d'ailleurs dans ta bibliothèque, il est bleu avec un petit diagramme du genre "diamant causal" dessus. si je pouvais le trouver j'en serais ravi car il était très intéressant. Ca permet surement de faire des calculs de RG avec beaucoup moins d'indices, c'est moins fastidieux. Le titre doit être gravity in lower dimensions.
Ce qui est étrange c'est que j'ai en tête d'avoir du faire des calculs en 2 dimensions pour prouver que la gravité en 2 D était bien équivalente à celle sur une surface en 3D. (je sais que ça fait longtemps mais je m'en souviens, ce sont les seuls calculs que j'ai réussi).
Comment n'importe quelle information sur un champ se propage-t-elle si il n'y a pas d'ondes gravitationnelles? Ou plutôt est-ce que quand tu dis que pas d'ondes grav, ça veut aussi dire aucune information de "variation" du champ qui se propage? (donc aucune info sur la position des objets). Du coup rien de ce qu'on mesure classiquement, ni aucune mécanique ne peut exister?
j'aspire à l'intimité.
Mais sans rentrer dans des détails trop complexes, physiquement, s'il n' y a pas de matière sur cette surface, la densité d'énergie est nulle , donc le tenseur impulsion-énergie est nul ? et par suite le tenseur d'Einstein via les équations d'Einstein ...?
après se pose la question d'une surface fermée, typiquement une sphère enfermant une certaine masse m mais qui ne touche pas la surface...
salut
j'imagine que tu parles de ca. Je ne le connais pas et irai y jeter un oeil des que je serai de retour pres de ma bibliotheque...
j'avoue que je n'ai jamais regarde la gravite en 1+1 dimensions... reste que tu es certain que ce que tu avais fait n'avait pas plutot a voir avec une theorie effective obtenue par une restriction sur l'horizon d'un trou noir ? (le fait que ca soit une surface du genre lumiere pouvant avoir son mot a dire dans l'histoire)Ce qui est étrange c'est que j'ai en tête d'avoir du faire des calculs en 2 dimensions pour prouver que la gravité en 2 D était bien équivalente à celle sur une surface en 3D. (je sais que ça fait longtemps mais je m'en souviens, ce sont les seuls calculs que j'ai réussi).
la theorie devient topologique... c'est aborde dans l'intro de ce texte (voir par exemple la section 2.1)Comment n'importe quelle information sur un champ se propage-t-elle si il n'y a pas d'ondes gravitationnelles? Ou plutôt est-ce que quand tu dis que pas d'ondes grav, ça veut aussi dire aucune information de "variation" du champ qui se propage? (donc aucune info sur la position des objets). Du coup rien de ce qu'on mesure classiquement, ni aucune mécanique ne peut exister?
quelle que soit la dimension on a dans le vide (si pas de constante cosmologique) T=0 et par consequent G=0. Ce qui va changer avec la dimension c'est :
- les consequences de G=0
- le nombre de contractions non-triviales possibles du Riemann et le nombre de degres de liberte locaux (par exemple en 2+1 dimensions dire que la theorie devient topologique signifie que ce sont des aspects globaux qui vont importer)
Ceux qui manquent de courage ont toujours une philosophie pour le justifier. A.C.
Re,
J'ai peur que les liens que tu cites ne soient pas très éclairants, même si je n'ai pas lu en détail.
Je répète donc les questions que j'avais posées, car il n'y a pas énormément de concepts dedans, c'est surtout du calcul. Je te conseille donc de comprendre comment construire chacun des objets que je liste ci-dessous (à l'aide de Wikipedia par exemple, les formules sont données), et d'essayer de faire le calcul sur un cas simple. A deux dimensions, il n'y a vraiment pas grand chose à faire.
Et peux-tu répondre à la dernière question ?
non, je ne peux pas...pas grave !
Dans ce cas, il ne faut pas dire "pas grave", mais demander de l'aide ! C'est en comprenant les points basiques d'abord que tu pourras d'attaquer à des problèmes plus compliqués.
Donc pour savoir combien de composantes indépendantes possède la métrique en deux dimensions, il faut d'abord savoir ce qu'est la métrique. C'est un tenseur symétrique à deux indices. On peut donc le représenter par une matrice symétrique. Comme il n'y a que deux dimensions, la matrice est de taille 2*2. Elle possède donc 4 coefficients. Mais comme elle est symétrique, le coefficient en haut à droite doit être égal à celui en bas à gauche.
Donc il n'y a que 3 coefficients indépendants.
Peux-tu répondre à la même question en 3, 4, 5, n dimension ?
