Intégrale de distribution

[invite6f25a1fe]

Bonjour, j'ai une petite question concernant les intégrales des distribution suivantes:

1) Je sais que l'intégrale sur R d'un dirac centré en 0 donne 1:
2) On aussi la propriété suivante pour une fonction f continue en x0:

... mais ma question est: que se passe-t-il si la fonction f() n'est pas continue en x0. Peut-on quand même calculer cette intégrale ? Notamment, mon cas particulier est le cas où f() est à la distribution de Heaviside k*H(x0) qui vaut 0 pour x<x0 et k pour x>x0 ? Que vaut l'intégrale ? Car a priori elle a une valeur finie non ?

J'intuite que la valeur de cette intégrale est (c'est à dire que pour les singularités f() de type "saut", on obtiendrait la valeur moyenne du saut, donc ici k/2) mais j'aimerais qu'on me le confirme si possible ...

Merci d'avance pour votre aide et remarques.
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[albanxiii]

Bonjour,

En pratique, les distributions s'appliquent sur des fonctions "test" qui vivent dans un espace qui leur confère des propriétés agréables. Elles sont en particulier indéfiniment dérivables et à support compact.
Regardez ici : https://fr.wikipedia.org/wiki/Distri...onctions_tests L'application d'une distribution, un Dirac par exemple, sur une fonction test est donc toujours bien défini.

L'application d'un Dirac sur une fonction de Heaviside est en fait la multiplication de deux distributions, multiplication qui n'est pas bien définie en général, donc on ne multiplie pas deux distributions.

Vous pouvez retrouver tout ceci, démontré, dans un des nombreux cours sur les distributions qu'on trouve sur le net, si nécessaire.

@+

[albanxiii]

Re,

Je viens de revoir le titre de votre message, et je me dit que vous n'avez pas la définition d'une distribution.
Une distribution est une forme linéaire sur l'espace des fonctions test. C'est tout. Dans certains cas on peut l'écrire sous la forme d'une intégrale, mais c'est un cas particulier.

En général, on écrit pour le résultat de l'application de la distribution sur la fonction test .
On a donc, pour le Dirac : , et les propriétés de translation.

Dans le cas où on peut l'écrire sous forme d'intégrale, on a .

En toute rigueur il n'existe pas de fonction telle que . On peut seulement trouver des suites de fonctions dont la limite se comporte comme cela. Et on prend un raccourci en l'écrivant sous la forme d'une intégrale, parce que c'est pratique, notamment en physique, mais en toute rigueur il faudrait utiliser la notation avec les crochets.

@+

[inviteea028771]

Disons que la notation sous formé d'intégrale du Dirac est, au choix un abus de notation de physicien, ou une horreur pour un mathématicien (je me situe bien évidement dans la seconde catégorie )


Sinon, pour ta question qui consiste à se demander quel sens donner à , j'ai envie de dire qu'il faut d'abord préciser l'espace fonctionnel dans lequel vit H. Il y a en effet plusieurs définitions possible du Dirac qui donneront les mêmes résultats pour les fonctions continues (mais pas pour les fonctions discontinues).

[A voir en vidéo sur Futura]

[Amanuensis]

N'y a-t-il pas un problème général de définition du produit de deux distributions?

La question porte sur l'intégrale du produit de la distribution delta par la distribution de Heaviside. Mais pour parler de cela, il faudrait déjà qu'on donne un sens à ce produit. Or, d'après ce que je comprends, il n'y a pas de définition "canonique" de la multiplication de distributions (.

[inviteea028771]

N'y a-t-il pas un problème général de définition du produit de deux distributions?

La question porte sur l'intégrale du produit de la distribution delta par la distribution de Heaviside. Mais pour parler de cela, il faudrait déjà qu'on donne un sens à ce produit. Or, d'après ce que je comprends, il n'y a pas de définition "canonique" de la multiplication de distributions (.

Plus que la non existence d'une multiplication "canonique" des distributions, il s'agit plutôt du fait qu'il n'existe pas de multiplication sur les distributions qui étende celle sur les fonctions classiques avec les "bonnes" propriétés. Un exemple simple :

Pour les fonctions classiques, si , alors

Or on sait que la suite de fonctions . Donc on aurait bien aimé que . Or la suite de fonctions ne converge pas au sens des distributions...



Mais ici, malgré ce qu'il a écrit comme équation, il veut plutôt connaitre la valeur de la distribution de Dirac appliquée à la fonction de Heaviside, et non pas le produit de la distribution de Dirac par la fonction de Heaviside

[Amanuensis]

Mais ici, malgré ce qu'il a écrit comme équation, il veut plutôt connaitre la valeur de la distribution de Dirac appliquée à la fonction de Heaviside, et non pas le produit de la distribution de Dirac par la fonction de Heaviside

J'avais compris, mais je ne vois pas comment l'intégrale peut se comprendre autrement que comme l'intégrale de la fonction constante par la (non définie) distribution produit.

S'il avait pris la fonction de Heaviside, il n'y aurait pas de problème (la valeur en x0 aurait alors été définie, et aurait été le résultat de l'intégrale). C'est parce qu'il s'agit de la distribution qu'il y a un problème ({x0} étant de mesure nulle, on peut de pas "définir" la distribution en ce point, et c'est l'approche suivie).

Comment est définie l'intégrale d'un produit de distributions, je ne sais pas. Si le produit était défini (et était une distribution), ce serait clair. Maintenant, faudrait que l'intégrale du "produit" ait un sens indépendant de la signification du "produit". Pourquoi pas. Mais lequel?

[inviteea028771]

J'avais compris, mais je ne vois pas comment l'intégrale peut se comprendre autrement que comme l'intégrale de la fonction constante par la (non définie) distribution produit.

Juste avant, il écrit en toutes lettres
"... mais ma question est: que se passe-t-il si la fonction f() n'est pas continue en x0. Peut-on quand même calculer cette intégrale ? Notamment, mon cas particulier est le cas où f() est à la distribution de Heaviside k*H(x0) qui vaut 0 pour x<x0 et k pour x>x0 ?Que vaut l'intégrale ? Car a priori elle a une valeur finie non ?"

C'est à dire qu'il cherche à appliquer la distribution de Dirac à la fonction de Heaviside, ou plus généralement, à des fonctions discontinues (enfin, c'est ce que je comprends).

Bon, après comme la notion de distribution est au mieux très floue dans la tête de Scorp, difficile de savoir ce qu'il souhaite vraiment savoir

[Amanuensis]

C'est à dire qu'il cherche à appliquer la distribution de Dirac à la fonction de Heaviside, ou plus généralement, à des fonctions discontinues (enfin, c'est ce que je comprends).

Je lis "distribution de Heaviside", et il ne s'agit pas d'une "fonction discontinue", mais d'une "fonction" définie sur R-{x0} et pas sur R.

Le problème ne vient pas d'une discontinuité, mais du support de la "fonction": le trou n'est pas un problème pour une distribution, mais n'est pas acceptable pour une fonction.

S'il avait pris la fonction de Heaviside, elle aurait une valeur en x0, et cela donnerait la valeur de l'intégrale, toute discontinue que soit la fonction.

Mais pour ce que j'en dis... J'indique ce que je lis, maintenant si quelqu'un lit autre chose, je ne vais pas aller plus loin.

[Amanuensis]

Maintenant, on peut poser la question du cas d'une fonction discontinue, par exemple en modifiant la fonction indiquée par 'qui vaut 0 pour x<x0 et k pour x>=x0'.

Auquel cas on a une contradiction entre la définition du delta comme la fonction linéaire qui a f associe f(0), et comme la limite de l'intégrale par un créneau valant eps sur ]-eps/2, eps/2[ et 0 ailleurs quand eps tend vers 0 (1). Pour la fonction indiquée, la première définition donne k, et la seconde k/2.

C'était peut-être ça la question, mais je ne suis pas dans la tête de Scorp (l'interprétation ci-dessus implique qu'il y a plusieurs erreurs d'expression), j'essaye d'interpréter au mieux ce qui écrit.

(1) Définition intéressante, quand on réalise que pour les fonctions continues cela donne le même résultat de la limite de l'intégrale par un créneau valant eps sur ]-eps/4, 3 eps/4[ et 0 ailleurs quand eps tend vers 0

[albanxiii]

Re,

Disons que la notation sous formé d'intégrale du Dirac est, au choix un abus de notation de physicien, ou une horreur pour un mathématicien (je me situe bien évidement dans la seconde catégorie )

Rassurez-vous, nous (les physiciens) faisons encore pire On arrive à définir quand on en a besoin

A tous : ne pas lire ce qu'il y a après si vous débutez en distributions....

 Cliquez pour afficher

, le premier delta impose dans l'intégrale, qui est effectuée sur tout le domaine des accessibles, que l'on note et donc (on l'utilise en 3+1 dimensions en théorie quantique des champs, notamment).

@+

[invite6f25a1fe]

Merci beaucoup pour vos réponses. Effectivement, je suis physicien, donc les subtilités entre "fonction de Heaviside" et "distribution de Heaviside" sont compliquées pour moi. Je vous donne quelques indices sur le contexte ca pourra vous aider je pense à mieux cerner mon problème:

Je cherche ici à résoudre un cas particulier (pas besoin d'un résultat très général). Mon problème physique est l'intégral sur un volume (voire même sur une ligne 1D dans mon cas) du produit de 2 quantités physiques: un gradient de densité qui est dans mon cas un dirac (car la densité selon x est un créneau) multiplié par la vitesse (qui dans mon cas est un créneau dont la discontinuité est au même endroit que celle du gradient de densité).

Donc en résumé je souhaite calculer:
donc je vais me retrouver avec quelque chose du style où x0 est le lieu de la discontinuité de vitesse et de densité.

Est ce que cela vous aide à répondre à ma question. Je vais aller voir les liens proposés sur les distribution histoire d'y voir plus claire là dedans quand même.
Merci encore pour vos réponses très intéressantes.

[inviteea028771]

Merci beaucoup pour vos réponses. Effectivement, je suis physicien, donc les subtilités entre "fonction de Heaviside" et "distribution de Heaviside" sont compliquées pour moi. Je vous donne quelques indices sur le contexte ca pourra vous aider je pense à mieux cerner mon problème:

Je cherche ici à résoudre un cas particulier (pas besoin d'un résultat très général). Mon problème physique est l'intégral sur un volume (voire même sur une ligne 1D dans mon cas) du produit de 2 quantités physiques: un gradient de densité qui est dans mon cas un dirac (car la densité selon x est un créneau) multiplié par la vitesse (qui dans mon cas est un créneau dont la discontinuité est au même endroit que celle du gradient de densité).

Donc en résumé je souhaite calculer:
donc je vais me retrouver avec quelque chose du style où x0 est le lieu de la discontinuité de vitesse et de densité.

Ok, donc à priori tout ceci n'a pas de sens mathématique bien défini. Il faut revenir à l'équation de départ et essayer de trouver une autre formulation du problème qui ai un sens mathématique bien défini.


On aurait envie, intuitivement, d'écrire que , mais sans le problème de départ, délicat de faire ça proprement.

[invite6f25a1fe]

J'ai quand même du mal à comprendre pourquoi ce problème est mal posé. Comme il a été dit avant, il suffit de prendre une suite qui converge vers le dirac, style Un(x)=0 sur R-[-h/2, h/2] et Un(x)=1/h sur [-h/2, h/2] pour voir que l'intégrale semble définie est de valeur finie h/2 non ??? Qu'est ce qui ne va pas là dedans ? Certes ca contredit le principe de la fonction delta vu comme application linéaire qui a f associe f(0) mais en même temps ceci n'est vrai que pour les f continue en x0 non ? Donc je ne vois toujours pas ce qui est mal posé, ou plus exactement qu'est ce que je devrais faire pour que le problème soit bien poser d'un point de vue mathématiques ? S'il vous plais, pensez que je suis physicien pas mathématicien, donc certaines subtilités evidentes pour vous ne le sont surement pas pour moi, d'où ma question et les erreurs/abus de notations éventuelles. Je m'en excuse d'avance.

Je peux donner plus d'infos sur le problème de départ, mais le problème c'est que dans toutes les réponses, je n'ai pas encore compris ce qui était vraiment mal posé d'où ma difficulté de vous donner les infos pertinentes pour clarifier tout ca... J'ai compris que vous n'aimiez pas le produit de distribution, mais je n'ai pas encore compris pourquoi ?

[inviteea028771]

Comme il a été dit avant, il suffit de prendre une suite qui converge vers le dirac, style Un(x)=0 sur R-[-h/2, h/2] et Un(x)=1/h sur [-h/2, h/2] pour voir que l'intégrale semble définie est de valeur finie h/2 non ??? Qu'est ce qui ne va pas là dedans ?

Simple, il suffit de prendre d'autres fonctions qui approximent le Dirac, par exemple :

=> appliqué à la fonction H, ça tend vers 1/2
=> appliqué à la fonction H, ça tend vers 0
=> appliqué à la fonction H, ça tend vers 1

Selon la fonction approximante choisie, on obtient des résultats différents => il y a un problème quelque part.

Je peux donner plus d'infos sur le problème de départ, mais le problème c'est que dans toutes les réponses, je n'ai pas encore compris ce qui était vraiment mal posé d'où ma difficulté de vous donner les infos pertinentes pour clarifier tout ca... J'ai compris que vous n'aimiez pas le produit de distribution, mais je n'ai pas encore compris pourquoi ?

Le problème, c'est pas que l'on "aime pas", c'est qu'il n'y a pas de façon satisfaisante de le définir (c'est d'ailleurs assez dommage, c'est presque le seul soucis avec les distributions)

[invite6f25a1fe]

Ha d'accord, je comprends mieux le problème maintenant.

Et petite subtilité maintenant: Pour vous situer le contexte, je recherche en fait à montrer la continuité d'une quantité A en x0: i.e. A(x0-) = A(x0+). Si je prends un petit volume contenant x0, j'utilise mes équations physiques et après manipulation tombe sur l'égalité suivante :

où B est un Heaviside centré en x0, est un petit volume contenant x0 (en général les physiciens font tendre ce volume vers 0 pour obtenir leur relation de saut) et A est inconnu (on ne sait pas si elle est continue ou discontinue, c'est ce que l'on veut prouver). Est ce que le fait que cette intégrale soit identiquement nulle me permet justement d'affirmer que A est continue en x0 ??? J'imaginerai bien un raisonnement du type par l'absurde en disant que si A n'est pas contnue en x0, alors son gradient comporte une singularité (de type dirac non ?) et donc le produit est mal posé et l'intégrale ne peut être identiquement nulle ?

C'est surement à reformuler de façon plus rigoureuse et mathématique, mais qu'en pensez vous ???

[inviteea028771]

C'est surement à reformuler de façon plus rigoureuse et mathématique, mais qu'en pensez vous ???

Ça ne marche pas, puisque si ton expression n'a pas de sens, elle peut être égale à "n'importe quoi".

Il vaut mieux revenir aux équations de départ, et essayer de donner un sens à tout ça quand A n'est pas continu. Le problème, c'est que ça n'est pas forcément évident, voir peut être vilainement difficile.