Equations différentielles et séries de fonctions

invite4aff2e7c · 22/07/2013, 03h47

Bonjour tout le monde,
Moi j'avais un souci concernant la résolution d'une équation différentielle en utilisant les séries entières.
Voila
1- Résoudre l'équation différentielle suivante en utilisant les séries entières.
$\text{[math]}$

Ma résolution se fait de la sorte:
Je commence par chercher une solution de l'équation développable en série entière:
$\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$
Via un changement de variable j'obtiens,
$\text{[math]}$
Et l'équation devient en remplaçant le 2nd membre par son développement en série entière:
$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$
Et on sait que si une fonction développable en série entière est nulle, ses coefficients doivent être nuls
$\text{[math]}$
Pour n = 0 et n = 1 on obtient respectivement,
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
En continuant ainsi j'ai remarqué les termes pairs dépendent de $\text{[math]}$ tandis que les impairs de $\text{[math]}$

$\text{[math]}$ or $\text{[math]}$

$\text{[math]}$
Puis j'en ai déduit
$\text{[math]}$

$\text{[math]}$
En essayant la récurrence:
$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

Pour les termes d'indices impaires on aura:

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

A partir de là je me plante g du mal à retrouver par récurrence les fonctions associées à $\text{[math]}$ et $\text{[math]}$ même si j'ai pu entrevoir le cosh (2x) avec les indices paires et sinh(2x) avec les impaires mais je reste bloquer.
De l'aide serait le Bienvenu, j'en ai urgemment besoin.

Très cordialement,
You're welcome !

invitef3414c56 · 22/07/2013, 07h10

Bonjour,

Prenez votre récurrence:

$\text{[math]}$

et posez $\text{[math]}$ .

Quelle récurrence vérifie $\text{[math]}$ ?

Je vous laisse finir, il y a encore un peu de travail.

Cordialement.

invite4aff2e7c · 22/07/2013, 19h47

En avant tout je tiens à vous remercier pour votre aide,

En utilisant le $\text{[math]}$ que vous me suggérez je tombe sur l'expression: $\text{[math]}$ qui donne également:

$\text{[math]}$

Je suis sur la bonne voie ??? et j'ai un peu de mal à continuer aussi j'avoue.

Un grand merci à vous !

Très cordialement,
You're welcome !

invite4aff2e7c · 22/07/2013, 20h00

Oups ! j'ai commis une petite erreur en oubliant le 4 devant $\text{[math]}$

$\text{[math]}$ qui donne également:

$\text{[math]}$
Soit
$\text{[math]}$

Merci,

Très cordialement,
You're welcome !

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invitef3414c56 · 22/07/2013, 20h15

Bonsoir,

Pour poursuivre, on fait pour cette relation de récurrence (la relation b_{n+2}-4b_n=5(-3)^n) comme pour les équations différentielles avec second membre: On cherche une solution particulière (cherchez une solution de la forme c(-3)^n, où c est une constante), puis on lui ajoute la solution générale de l'équation homogène b_{n+2}-4b_n=0.

Bon travail.

Cordialement.

invite4aff2e7c · 23/07/2013, 08h35

Bonjour,
Pour la relation de récurrence
$\text{[math]}$
J'ai pu remarquer les termes d'indices paires dépendaient de $\text{[math]}$ et les impaires de $\text{[math]}$ .
Donnant ainsi,
$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

En ramenant à $\text{[math]}$

$\text{[math]}$

$\text{[math]}$

Si j'ai pas commis d'erreur.

Mais pour la relation de récurrence avec le second membre votre aide serait la bienvenue: $\text{[math]}$

Encore merci pour tout.

Très cordialement,
You're welcome !

invitef3414c56 · 23/07/2013, 09h52

Bonjour,

Il s'agit de trouver la forme général des solutions de la récurrence (*):

$\text{[math]}$

Et seulement ensuite on revient à a_n.

Supposez que vous ayez une solution particulière c_n de (*). Soit maintenant b_n une solution quelconque de (*). Si vous posez d_n=b_n-c_n, je vous laisse vérifier que l'on a $\text{[math]}$ . Vous avez effectivement trouvé la solution générale de cette récurrence dans votre message précédent.

Noter que si on a une relation de récurrence $\text{[math]}$ , et que si le polyn\^ome
$\text{[math]}$ a deux racines distinctes s_1 et s_2, une suite x_n vérifiant la relation de récurrence est de la forme $\text{[math]}$ , où u_1 et u_2 sont deux constantes arbitraires. Ici cela donne une formule plus simple pour les suites vérifiant $\text{[math]}$ : elles sont de la forme $\text{[math]}$ avec u_1 et u_2 sont deux constantes arbitraires. (Mais les expressions que vous avez trouvées sont correctes).

Il vous reste à trouver une solution particulière $c_n$ de la récurrence avec second membre, je vous ai déjà donné une indication pour cela.

Cordialement.

invite4aff2e7c · 24/07/2013, 09h01

Bonjour,
En tenant compte de vos indications voila ce j'ai pu faire:

$\text{[math]}$ (1)
En supposant que $\text{[math]}$ est solution donc il vérifie la relation de récurrence $\text{[math]}$ (2)
En faisant (1) - (2) on obtient:
$\text{[math]}$ donc ainsi en posant $\text{[math]}$
$\text{[math]}$
De manière analogue à $\text{[math]}$
$\text{[math]}$
ou
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
Soit $\text{[math]}$
Pour la détermination de $\text{[math]}$
je pose $\text{[math]}$ et le remplace dans l'équation (2) puis je tire la constante K
j'obtiens que: $\text{[math]}$ soit $\text{[math]}$
Donnant ainsi:
$\text{[math]}$

Voila ce que j'ai pu entreprendre et d'autres explications seraient toujours les bienvenues !

Un grand merci pour votre aide si précieuse.

Très cordialement,
You're welcome !

invitef3414c56 · 24/07/2013, 11h31

Bonjour,

Cela me parait très bien. Il vous reste à revenir à a_n et à exprimer les fonctions trouvées.

Cordialement.

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