Etude de fonction

[gloups13]

Bonjour à tous, j'ai à étudier la fonction ᵩ -->l'intégrale de x à x² de dt/ln(t)
Je pose pour tout t appartenant à ]0,1[ union ]1,+infini[ f(t)=1/ln(t). f est C° sur I1=]0,1[ union I2= ]1,+infini[.
Je n'arrive pas a calculer les limites de ᵩ en 0+ et 1.
De plus pour le calcul de la dérivée de ᵩ la correction de ma prof dit que c'est : ᵩ'(x)=(x-1)/ln(x).Mais j'aime pas cela car moi je ferais deux dérivées pour chaque intervalle I1 et I2.
Merci de venir à mon secours.

PS: Je suis un cerveau lent donc il ne faut pas aller trop vite avec moi dans la démarche à suivre pour résoudre cet exo.
Merci de votre aide.
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[breukin]

Le principe, sans justifier rigoureusement, pour la limite en 1 (des deux côtés) :
On utilise un équivalent au voisinage de 1 de la fonction à intégrer, puisque l'intervalle d'intégration est dans un voisinage de 1 (l'intervalle d'intégration est d'un côté ou de l'autre, extérieur à 1) : .
Donc
Donc la limite est .

[breukin]

Pour la limite en 0+, c'est plus facile, vu que l'intervalle d'intégration est inclus dans un voisinage à droite de 0, et que la fonction à intégrer tends vers 0 en 0+ : la limite est nulle.

[breukin]

Pour la dérivée, soit on connait que si , alors (sous les bonnes hypothèses sur les différentes fonctions), soit on applique directement la méthode issue de la définition d'une dérivée.

Ici, on a donc .

Ici, il n'y a pas de problème d'intervalle, parce que l'intervalle d'intégration est toujours du même côté, lorsqu'on est dans un voisinage d'une valeur donnée (autre que 1), pour toutes les valeurs de ce voisinage.

[A voir en vidéo sur Futura]

[gloups13]

Merci breukin pour ces réponses. Mais dans le poste #2 vous dites d'une certaine façon que si ln(t) est équivalent à t-1 au voisinage de 1 donc 1/ln(t) est équivalent à 1/(t-1) au voisinage de 1 , la je suis toujours d'accord , et alors vous passez à l'intégrale. Pour justifier le passage à l’intégrale que faut-il montrer?

[breukin]

Il suffit d'écrire ce que veut dire "être équivalent", en minorant et majorant : valable sur un intervalle autour de 1 (sauf en 1) dépendant de .
On peut alors intégrer.
Cela doit bien être un théorème...

[gloups13]

merci pour cette réponse. C'était en fait tout bête.