Espace compact et espace complet

[tsukuyomi]

bonjour.j'ai besoin de vos avis sur la question suivante:
soient un espace métrique;A et B deux parties de E telles que avec l'adhérence de
Montrer que si E est compact alors E est complet.
j'ai procédé de la manière suivante
-soit une suite de cauchy dans E or car E est compact.
ainsi ce qui implique or est un ouvert c'est-à-dire avec pris dans ( étant une partie de). ce qui signifie que d' où il or ceci est vrai dès que d'où est une suite de cauchy convergente. merci d'avance pour vos contributions.
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[gg0]

Bonjour.

Bizarre ton énoncé, le fait que E soit compact ou complet n'a rien à voir avec A et B.
La suite est tout aussi bizarre avec des notations non définies (). On dirait la copie d'un morceau de texte mathématique, sans ce qui précède et qui donne du sens. Le "car E est compact" m'a bien amusé, il ne suit en rien une caractérisation des compacts. Je ne vois pas non plus où est utilisé le fait que la suite est de Cauchy.

Bon, sérieusement, il serait bon que tu nous donnes un énoncé clair, puis que tu essayes vraiment d'utiliser les propriétés (Par exemple, si tu prends une suite de Cauchy, quelle conséquence en tires-tu ? idem pour E -ou A, je ne sais pas).

Cordialement.

[tsukuyomi]

je vous remercie pour les remarques et j'y apporterais les modifications qui s'imposent dans un prochain message.

[tsukuyomi]

bonjour, voici comme promis mon message 2.0:
supposons que est un espace compact et montrons que est un espace complet c'est-à-dire soit une suite de cauchy de montrons que converge dans c'est-à-direcherchons alors.Or nous savons que est compact c'est-à-dire, or est une suite dec'est-à-dire soit l'ensemble des éléments de la suite
est un ouvert de donc (avecune boule ouverte) or c'est-à-dire d'oùainsion aon pourra ainsi prendre on aura alorsainsi ma suite de cauchy converge.

[A voir en vidéo sur Futura]

[tsukuyomi]

bonjour, voici comme promis mon message 2.0:
supposons que est un espace compact et montrons que est un espace complet c'est-à-dire soit une suite de cauchy de montrons que converge dans c'est-à-direcherchons alors.Or nous savons que est compact c'est-à-dire, or est une suite dec'est-à-dire soit l'ensemble des éléments de la suite
est un ouvert de donc (avecune boule ouverte) or c'est-à-dire d'oùainsion aon pourra ainsi prendre on aura alorsainsi ma suite de cauchy converge.j'aimerais surtout savoir si mon raisonnement se tient.Merci d'avance pour vos contributions

[Seirios]

Tu utilises plusieurs fois la propriété selon laquelle si est une suite dans une union , alrs la suite est dans l'un des uniquement, ce qui est clairement faux. (Pour un contre-exemple, tu peux prendre la suite définie par et le recouvrement .)

De manière plus générale, tu considères un recouvrement ouvert quelconque, donc je vois vraiment pas pourquoi il pourrait t'apporter des renseignements précis sur ta suite.

Usuellement, on montre qu'un compact est complet en disant qu'une suite de Cauchy a nécessairement une valeur d'adhérence et on montre ensuite que la suite tend en fait vers (une suite de Cauchy ayant une valeur d'adhérence est en fait convergente).

[tsukuyomi]

Merci pour la clarification concernant la réunion d'ouvert.Elle m'a beaucoup aidé à concevoir un nouveau raisonnement que je vous présenterais après quelques clarifications de votre part.j'aimerais svoir si un ouvert est une réunion de boules ouvertes.Si oui,ces boules ont-elles le meme centre où des centres différents.

[toothpick-charlie]

un ouvert d'un espace métrique est par définition réunion de boules ouvertes, en général pas toutes de même centre (car une réunion de boules ouvertes de même centre est encore une boule ouverte, ou bien l'espace entier)

[tsukuyomi]

merci bien.