Homomorphisme d'anneaux

[invited17825bc]

Bonjour,

Dans la définition d'un homomorphisme d'anneau:

Soient A, B 2 anneaux, l'application
f: a ==> B est un homomorphisme d'anneaux si
(1) f(a+b) = f(a) + f(b)
(2) f(a.b) = f(a).f(b)
(3) f(1(A)) = 1(B)

Pourquoi impose-t-on le 3eme point? Ne découle-t-il pas du 2eme?

Soit a appartenant à A, f(a) = f(a.1(A)) = f(a).f(1(A)) = f(1(A).a) = f(1(A)).f(a) (vu le point (2) ). De là, f(1(A)) = 1(B), non?

Si ce n'est pas le cas, quel est l'intérêt "pratique" de l'imposer?

Remarque: 1(A) et 1(B) désignent respectivement l'unité de l'anneau A et l'unité de l'anneau B.
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[gg0]

Bonsoir.

"De là, f(1(A)) = 1(B), non? " Non. Sauf si f(a) a un inverse, ce qui n'est pas obligatoire.

Cordialement.

[invite76543456789]

Grillé par gg0.
Par exemple l'application nulle verifie 1 et 2 mais pas 3.

[invite179e6258]

il me semble qu'on n'impose pas toujours cette propriété. Wiki par exemple ne le fait pas : http://en.wikipedia.org/wiki/Ring_homomorphism

[A voir en vidéo sur Futura]

[inviteea028771]

il me semble qu'on n'impose pas toujours cette propriété. Wiki par exemple ne le fait pas : http://en.wikipedia.org/wiki/Ring_homomorphism

Pour les français, "anneau" signifie généralement "anneau unitaire", tandis que pour les anglo-saxons, un anneau n'est pas forcément unitaire.

Si on parle de morphisme d'anneau unitaire, il faut que l'unité s’envoie sur l'unité, mais si on parle de morphisme d'anneau (pas forcément unitaire), alors ça n'a pas trop de sens

[invite179e6258]

y a-t-il une raison profonde pour laquelle l'image de l'unité doit être l'unité? il me sembleque ça ne me dérangerait pas que l'application nulle soit un morphisme d'anneaux. Après tout son noyau est bien un idéal. L'anneau quotient n'est pas unitaire mais ce n'est pas une tare

[invite76543456789]

En géométrie algébrique, qui est sans doute le plus gros moteur du developpement de la théorie des anneaux (commutatifs), oui il est essentiel que les anneaux soit unitaires et les morphismes envoyant element unité sur element unité.
Dans le cadre non commutatif la presence d'un element unité correspond a la compacité ou non de l'espace associé, les deux sont donc interessants (mais dans tous les cas on peut compactifier un espace/unitarisé un anneau).

[gg0]

y a-t-il une raison profonde pour laquelle l'image de l'unité doit être l'unité? il me sembleque ça ne me dérangerait pas que l'application nulle soit un morphisme d'anneaux.

Pour une morphisme d'anneaux unitaires, ça semble un peu gênant (*). Pour un morphisme d'anneaux (sens anglo-saxon) on s'en moque. Il s'agit donc de morphismes de structures légèrement différentes.

Cordialement.

(*) l'existence de l'unité est un élément fondamental de la définition.

[Médiat]

Bonjour,

Ne serait-il pas mieux de parler de morphisme pour le langage (+, x), ou pour le langage (+, x, 1), ce qui ne présume rien sur les structures ?

Strictement parlant, pour pouvoir parler de morphisme d'anneaux, il faudrait commencer par démontrer que les structures sont toutes 2 des anneaux.