groupes; homomorphisme

[invite1f5381b6]

Salut
Exercice
soit G un groupe abélien noté multiplicativement , a et b deux éléments de G .on définit la loi * par:

x*y = yaxb

1.montrer que (G,*) est un groupe commutatif .
2 montrer que f : G -->G définie par f(x)=a^-1xb ^-1 (a et b son à la puissance -1 (je ne sais pas comment faire ) est un homomorphisme de groupes .


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bon voilà je sais que pour 1)il faut montrer que x*y=y*x
pour 2) f(xy)=f(x)f(y)

mais le problème c'est je n'arrive pas a faire la démonstration, si vous savez le faire n'hésitez pas car c'est tres important pour moi.
merci d'avance
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[Flyingsquirrel]

Salut

bon voilà je sais que pour 1)il faut montrer que x*y=y*x

... ainsi que l'associativité de *, l'existence d'un élément neutre et l'existence d'un inverse pour chaque élément de .

pour 2) f(xy)=f(x)f(y)

N'est-ce pas plutôt ?

[invitebe0cd90e]

Pour les 2 questions, il suffit de l'ecrire !!! par exemple, pour la commutativité, par definition

x*y=yaxb
y*x= xayb

Il suffit donc de montrer que yaxb=xayb ce qui est assez evident vu que G est commutatif !! Idem pour le reste. Pour l'element neutre, il faut se creuser un chouia, mais ca reste assez evident : a quoi x doit il etre egal pour que yaxb =y ? vu qu'on est dans un groupe, ca revient à dire que axb=e (ou e est le neutre de G avec sa loi d'origine). C'est donc assez facile de trouver x !

Pour le morphisme de groupe, c'est la meme chose : ecrit ce que vaut f(xy), ce que vaut f(x)*f(y) et verifie simplement que tu trouves la meme chose !!! pour le neutre, calcule f(e) et verifie que ca redonne bien le bon truc (ca te donne meme un indice pour repondre a la question d'avant )

[invite1f5381b6]

ok je vais faire ce que tu m'a dit jobherzt
merci

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