groupes

[invitefa636c3d]

bonjour

j'ai une question sur une démo:

on me dit que A4 (permutations signatures paires) admet des 2-sylow d'ordre 4 (ok par thm du même nom)

les elements d'ordre 2 sont dans ces 2-sylow (ok par cauchy) or il n'y a que 3 elements d'ordre 2 donc ils forment avec id un unique sous groupe K d'ordre 4 isomorphe au groupe (Z/2Z)²
(ok pas de pb)

mais ensuite on me dit que mon groupe K est caractéristique puisqu'unique (donc distingué)


donc je ne vois pas (pour l'instant) pourquoi K est caractéristique car unique ????

jameso
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[invite4793db90]

Salut,

l'image de K par un automorphisme est nécessairement d'ordre 4 donc c'est K puisqu'il n'y a qu'un seul sous-groupe d'ordre 4.

Cordialement.

[invite28ed3995]

C'est parce que, tous les p-sylow sont conjugués entre eux.

En effet, si est un sous groupe de est que est un de ses élément, est également un sous groupe de du même ordre (*) que c'est donc également un p-sylow de .

S'il y en a qu'un, il est nécessairement distingué.


(*) l'application de dans qui à associe est un automorphisme (intérieur).

Ah oui, c'est "caractéristique" et non "distingué".

O.k.

Cependant, le raisonnement est le même, toute image d'un sylow par un automorphisme à la même cardinal, et est donc un p-sylow également.

[invitedf667161]

Qui donne une petite définition de "caractéristique" pour aider ceux qui suivent le fil sans comprendre en sentant qu'ils pourraient ... ?

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite4793db90]

Salut,

un sous-groupe caractéristique d'un groupe G est un sous-groupe H tel que , pour tout automorphisme de G.

Cordialement.

[invitedf667161]

Ah trés bien.

Dans ce cas, et sans surprise, les réponses d'Airy et Martini conviennent à merveille.

Il y a un lien entre caractéristique et distingué ?

[invite4793db90]

Il y a un lien entre caractéristique et distingué ?

Ben pour distingué tu ajoutes « intérieur » après automorphisme dans la définition.

[invitefa636c3d]

merci à tous de m'avoir éclairé sur ce problème !!

amicalement
jameso

[invitedf667161]

Ben pour distingué tu ajoutes « intérieur » après automorphisme dans la définition.

Cette bonne blague, j'aurais pu deviner tout seul !