2 exercices d'arithmétique

[invite56f88dc9]

Bonjour.
Dans quelques jours j'ai un bac blanc et on a des exos pour s'entraîner et j'ai de petites difficultés.

Exo 1 :
1a) Montrer que le PGCD de A et B est égal au PGCD de A et 4.
b) Déterminer, suivant les valeurs de n, le PGCD de A et B.

2)Pour quelles valeurs de l'entier relatif n, (n²-3n+6)/(n-1) est-il un entier relatif.

J'ai réussi à faire la 1a) et la 2).
Pour la 1b), peut on dire :
comme Pgcd(A,B)=PGCD(A,4) donc PGCD de (a,b) divise 4 donc Pgcd(a,b) = 4k+1 ou Pgcd(a,b)=2k+1) ou Pgcd (a'b)=k+1
C'est bon si je dis ça ou je me trompe ???.

Exo 2 :
n désigne un entier naturel supérieur ou égal à 2.
On considère l'entier naturel a=n^5-n.
1) Démontrer que a est divisible par n^3-n.
2)Dém que a est divisible par 30.

La première question est trop simple mais je n'arrive pas du tout à faire la seconde. J'ai essayé d'appliquer le petit théorème de Fermat mais je n'y arrive pas.
Merci de bien vouloir m'aider.
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[invite636fa06b]

Pour le 1, je n'ai pas compris l'énoncé : quel rapport entre B et 4 ? Il doit manquer quelque chose
Pour l'exo 2, essaie d'appliquer le petit théorème de Fermat à chacun des diviseurs premiers de 30.

[invite56f88dc9]

J'ai oublié de dire qqch.
Soit a un entier relatif quelconque, on pose A=n-1 et B=n²-3n+6

[invite6b1e2c2e]

Pour la 1b :
pgcd(A,B)=pgcd(A,4) = d
Alors d divise 4. Donc d = 1, 2 ou 4.
A partir de là, je pense que tu peux conclure tout seul.
Mais je ne comprends absolument pas le début de preuve que tu as écrit

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rvz

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite56f88dc9]

Sinon j'ai un truc pour l'exo 2 mais je ne suis pas sur.
a peut s'écrire sous la forme : 30=2*3*5
a=(n-1)n*q1 Si 2 divise n alors 2 divise a.
Sinon n-1est congrue à 0(mod 2) (on applique Fermat avec p=2).
a=(n²-1)n*q2
Si 3 div n alors 3 div a.
Sinon n²-1 est congrue ) 0 mod 3 .
a=(n^4-1)n
Si 5 divise n alors 5 divise a
Sinon 5 ne divise pas n alors n^4 est congrue à 0 mod 5.
Dis moi si c'est bon.
Merci.

[invite56f88dc9]

C'est bon ou je raconte des anneries ?

[matthias]

C'est bien ça.
a divisible par n(n^k-1-1) pour k = 2, 3, 5
donc soit n divisible par k, soit n premier avec k, donc n^k-1-1 divisible par k

[invite56f88dc9]

Merci beaucoup Matthias, je vais pouvoir avancer dans mes révisions.
@+ et bon week-end.