Minimiser norme euclidienne dans un espace infini

[inviteb09b4bb0]

Bonjour,

Je suis en train de résoudre un exercice et j'aimerais que vous m'aidiez à savoir si je suis sur la bonne voie.


Voilà l'énoncé :

On considère la fonction f(x)=2x²+x+1 que l'on cherche à approximer par le polynôme P(x)=a+bx .
Utiliser la méthode des moindres carrés pour minimiser la norme euclidienne de f(x)-P(x) et déterminer a et b.


Selon moi, il faut calculer l'expression de la norme euclidienne de f(x)-P(x) puis ses dérivées partielles par rapport à a et b. En les posant égales à 0 cela nous permettra de déduire les valeurs de a et b.

D'après la correction que j'ai, on trouve a=2/3 et b=3.


Ce que je ne comprend pas, c'est où est ce que la méthode des moindres carrés entre en jeu dans toute cette histoire ...


Merci d'avance.
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[inviteea028771]

En fait, c'est minimiser la norme euclidienne qui est exactement minimiser au sens des moindres carrés.

Si tu avais minimisé une autre norme, le résultat n'aurait pas été minimisé au sens des moindres carrés (mais selon un autre critère)

[inviteb09b4bb0]

D'accord je vois merci.

Par ailleurs il y a une autre question dans l'exercice :
Entre la méthode du minimax et des moindres carrés, laquelle donne la meilleure approximation ?


En utilisant la méthode du minimax (théorème de tchebycheff) on trouve : P'(x)= 3x + 3/4
Norme infinie de f(x)-P'(x) = 0,25
Norme euclidienne de f(x)-P'(x) = 0,17

En utilisant la méthode des moindres carrés on trouve P(x)= 3x + 2/3
Norme infinie de f(x)-P(x) = 0,33
Norme euclidienne de f(x)-P(x) = 0,15


Selon le corrigé que j'ai c'est la méthode du minimax qui donne la meilleure approximation.

Intuitivement je dirais que c'est parce que si on additionne les normes euclidienne et infinies des deux erreurs (données par f(x)-P(x) ou f(x)-P'(x)) on trouve que la somme est plus petite pour la méthode du minimax. Mais j'aimerais avoir un raisonnement plus rigoureux à propos de ça ( pourquoi par exemple ne considère-t-on pas que la norme euclidienne est plus "importante" que la norme infinie et ne la pondère-t-on pas par un coefficient auquel cas on pourrait se retrouver avec le résultat contraire ? ).