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Fraction Rationnelles



  1. #1
    dhcp60

    Exclamation Fraction Rationnelles


    ------

    Bonjour à tous !!

    Voilà, j'ai un énorme problème, mais je suis sur qu'il peut paraitre simple pour beaucoup de personnes :

    "Décomposer en éléments simples et intégrer" :

    F(X)=X4+1/(X2-1)

    Je n'arrive pas à partir ! Faut-il utiliser la division suivant les puissances croissantes ou décroissantes ?

    Ce serai sympa de m'aider parce que là je nage total !

    -----

  2. #2
    matthias

    Re : Fraction Rationnelles

    En même temps, une fois que tu as lu ton cours, que tu as remaqué qu'il n'y a que à décomposer et que , il n'y a plus grand-chose à faire.
    à moins que tu n'ais oublié des parenthèses ...

  3. #3
    nissart7831

    Re : Fraction Rationnelles

    Bonjour,

    si ta fonction s'écrit bien , alors tu peux transformer le 2ème terme grâce à une identité remarquable et ainsi décomposer en éléments simples. Tu pourras alors intégrer F comme somme de fonctions intégrables et dont tu trouveras facilement les primitives.

    EDIT : matthias a été plus rapide !!

  4. #4
    Bleyblue

    Re : Fraction Rationnelles

    Eh bien ta fonction à intégrer est du type : q/p ( q et p sont deux polynômes)

    Comme le degré de ton polynome q est supérieur au degré de p tu commences par faire une division euclidienne de q par p ...

    EDIT : Matthias et nissart7831 ont été plus rapides
    Dernière modification par Bleyblue ; 21/01/2006 à 17h09.

  5. A voir en vidéo sur Futura
  6. #5
    dhcp60

    Re : Fraction Rationnelles

    MéaCulpa

    Je suis désolé

    Mais en réalité il fallait lire

    (X4+1)/(X2-1)3

    Désolé encore

  7. #6
    Bleyblue

    Re : Fraction Rationnelles

    ben dans ce cas :




    Et il te reste à déterminer A,B,C,D,E,F

  8. #7
    dhcp60

    Re : Fraction Rationnelles

    merci bleyblue, ca c ce que je pensais avoir trouvé, mais c'est pour la détermination des coefficients que je suis bloqué !

    rien à faire, je tourne en rond !

  9. #8
    Bleyblue

    Re : Fraction Rationnelles

    J'ai expliqué ça ici : http://forums.futura-sciences.com/thread36135-8.html

    (message 144)

  10. #9
    dhcp60

    Re : Fraction Rationnelles

    bah oui jusque là je suis d'accord avec toi, mais adapté à mon cas ca donne quoi ?

  11. #10
    Bleyblue

    Re : Fraction Rationnelles

    Si tu vas lire mon message 144 (jusqu'au bout ) tu devrais parvenire à trouver une relation qui te permettras de trouver les constantes.

    Essaie et demande éventuellement pour être sûr que tu ne t'es pas trompé

  12. #11
    dhcp60

    Re : Fraction Rationnelles

    ok j'essaye et je te ré-écris dans 3 jours lol !!

    non je v essayer dans la soirée, merci !

  13. #12
    dhcp60

    Re : Fraction Rationnelles

    Bon, je viens d'appliquer la méthode que tu décris et j'arrive au "demi" résultat suivant :

    A+D=0
    A+B-D+E=1
    -2A+2B+C-2D-2E+F=0
    -2A-2B+3C+2D-3F=0
    A-2B+3C+D-2E+3F=0
    A-B+C-D-E+F=1

    Pas mal à résoudre comme sytème !!! est-ce que tu arrive à ce genre de résultat ? comment je procède pour résoudre ceci ?

  14. #13
    pat7111

    Re : Fraction Rationnelles

    Il y a déjà deux termes que tu peux trouver de tête : C et F

    Pour C, tu multiplies des deux côtés par et tu fais x=1

    Je te laisse deviner pour F

    Si tu ne veux pas te lancer dans les divisions à puissances croissantes (là à froid, je ne saurais plus faire...) ça réduit au moins le système à résoudre au 4ème ordre
    Plutôt appliquer son intelligence à des conneries que sa connerie à des choses intelligentes...

  15. #14
    dhcp60

    Re : Fraction Rationnelles

    Citation Envoyé par pat7111
    Il y a déjà deux termes que tu peux trouver de tête : C et F

    Pour C, tu multiplies des deux côtés par et tu fais x=1

    Je te laisse deviner pour F

    Si tu ne veux pas te lancer dans les divisions à puissances croissantes (là à froid, je ne saurais plus faire...) ça réduit au moins le système à résoudre au 4ème ordre
    D'après toi je devrai utiliser une division selon les puissances croissantes en en faisant le changement de variable X=h+1 ?

  16. #15
    invite43219988

    Re : Fraction Rationnelles

    D'après toi je devrai utiliser une division selon les puissances croissantes en en faisant le changement de variable X=h+1 ?

    Ce qu'il voulait dire, c'est que si tu as :

    1/[(x-1)^3*(x+1)]=a/(x-1)+b/(x-1)²+c/(x-1)^3+d/(x+1)
    Tu peux multiplier les deux membres de l'égalité par (x-1)^3, et poser x=1, ce qui te permettra de trouver c (dans mon cas) sans problème.

  17. #16
    Bleyblue

    Re : Fraction Rationnelles

    Citation Envoyé par dhcp60
    Bon, je viens d'appliquer la méthode que tu décris et j'arrive au "demi" résultat suivant :

    A+D=0
    A+B-D+E=1
    -2A+2B+C-2D-2E+F=0
    -2A-2B+3C+2D-3F=0
    A-2B+3C+D-2E+3F=0
    A-B+C-D-E+F=1

    Pas mal à résoudre comme sytème !!! est-ce que tu arrive à ce genre de résultat ? comment je procède pour résoudre ceci ?
    En fait je n'ai pas fait l'exercice, donc si tu peux m'expliquer comment tu as fait je pourrai te dire si c'est bon

    Mais sinon ce système n'est pas forcément difficile à résoudre (forcément si tu as n constantes tu auras un système à n inconnues ...)
    Déja tu as A = - D donc ça te fait déja une inconnue en moins en injectant dans les équations.

    Pour le reste il faut essayer avec les méthodes classiques (substitutions, cramer, gauss ...) et normalement ça devrait aller.

  18. #17
    invite43219988

    Re : Fraction Rationnelles

    Arghhh !!! Jamais de substitutions

  19. #18
    Bleyblue

    Re : Fraction Rationnelles

    Bah ... gros maniaque va

  20. #19
    dhcp60

    Re : Fraction Rationnelles

    en utilisant la méthode express (TI-89), j'obtiens les résultats suivants :

    A=3/8
    B=1/8
    C=1/4
    D=-3/8
    E=1/8
    F=-1/4

    Ca pourrait coller ?

    N'y aurait-il pas une histoire de parité ?

  21. #20
    invite43219988

    Re : Fraction Rationnelles

    Une fraction paire se décompose en une somme de fractions paires. (Dans le cas de la décomposition en éléments simples)

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