Problème optimisation

[invite9aff2508]

A total of x feet of fencing is to form three sides of a level rectangular yard. What is the maximum possible area
of the yard, in terms of x ?


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[invite179e6258]

il y a deux façons de résoudre ce problème : la façon pédestre, qui consiste à poser x=2a+b et à maximiser ab sous cette contrainte. On trouve que a=x/4

et la façon un peu plus astucieuse : tu dessines ton enclos rectangulaire et tu prends le symétrique par rapport au mur non mesuré. Tu considères le nouvel enclos qui est la somme des deux (j'ai pas envie de faire le dessin, j'espère que c'est clair). Sa superficie est donc double de celle de l'enclos d'origine, et cela quelle que soit la forme qu'on lui donne. Donc maximiser la surface de l'un c'est maximiser la surface de l'autre. le grand enclos a pour périmètre 2x et il est bien connu que c'est le carré de côté x/2 qui est la solution. Donc tu en reprends la moitié et tu as la répartition de ta barrière (x/4,x/2,x/4). Son aire est x^2/8

[invite9aff2508]

merci pour votre réponse, mais je ne comprend pas comment vous maximisez ab , et pour la deuxième façon pour quoi il est bien connu que la forme est le carré de côté x/2, merci

[invite179e6258]

tu poses que ton rectange a pour côtés a et b, et puisque tu n'as que 3 côtés, on va dire que c'est a qui apparaît 2 fois. La longueur x vaut donc x = 2a + b. On en tire que b=x-2a. L'aire est ab et donc S = ab = a(x-2a) = ax-2a^2 On dérive dS/da = x - 4a la dérivée est nulle si a=x/4 et alors b = x/2 et S = x^2/8

dans la deuxième manière, effectivement si on ne peut pas utiliser le fait que le rectangle de périmètre donné et d'aire maximale est un carré, on n'a rien gagné. Mais c'est quand-même un fait élémentaire connu, et c'est toujours agréable d'arriver à un résultat sans calculs.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite9aff2508]

Merci beaucoup monsieur maintenant je suis bien compris l'astuce

[gg0]

Bonsoir.

pour l'aire maximale d'un rectangle de côtés a et b et de périmètre (2(a+b)) fixé, on remarque que l'aire est :

dans le second membre, le (a+b)² est constant, donc l'aire sera la plus grande quand (a-b)² sera le plus faible, quand a=b.

Cordialement.

NB : Une forme géométrique de cette preuve existe depuis probablement plus de 2000 ans.