Polynome irréductible dans un corps

[invitedf72ed21]

Bonjour,

Une question qui me semble simple mais à laquelle je n'arrive pas à répondre :

Soit a, b deux entiers premiers > 2.
Existe t-il toujours (ou jamais ?? ou des fois ?) un entier p premier > 2, un polynôme Q irréductible de (Z/pZ)[X]
de degré a et un polynôme P de ((Z/pZ)/(Q))[X] tel que P soit irréductible
dans ((Z/pZ)/(Q)) ?

Merci pour vos réponses.

Cordialement,
David
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[invitedf72ed21]

Une précision qui donne du sens : P doit être de degré a*b ...

[invitedf72ed21]

Encore une précision ... décidément quand il s'agit de formaliser j'ai du mal.
P est à coefficients dans Z/pZ uniquement.

[invitedf72ed21]

Un polynôme P de degré n > 0 sur Fq est irréductible si et seulement si
1) P divise X^(q^n) – X
2) P est premier avec les X^(q^r) – X, où r = n/d, d diviseur premier de n.

Dixit wikipédia sur les corps finis.

Ici le point 2) n'est jamais vérifié, cqfd. car q = p^a, et il suffit de prendre r = b pour que P divise X^(q^r) – X.
Plus la peine de chercher, c'était tout simple, suffit de lire wikipédia en fait. Donc merci quand même à ceux qui
m'ont lu ...

Cordialement,

David

[A voir en vidéo sur Futura]