Transformée de Fourier d'un espace annulaire

[Sethy]

Bonjour à tous,

Je cherche à connaitre la "forme" de l'espace qu'occupe la Transformée de Fourier d'une espace annulaire.

Afin de préciser ce que j'entends par "espace annulaire", il s'agit d'un espace à une dimension qui suit un guide annulaire.

A priori je pense que la TF d'un espace annulaire fini est un autre espace mais infini, celui-ci.

Qu'en dites-vous ?

D'avance merci.

Sethy
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[Sethy]

A priori je pense que la TF d'un espace annulaire fini est un autre espace mais infini, celui-ci.

Oups, petite coquille lire "est un autre anneau mais infini, celui-ci".

[Sethy]

J'appelle espace annulaire, un espace à une dimension (comme un serpent qui se mange la queue).

Par exemple, en physique, un ressort linéaire peut être vu comme un espace à une dimension linéaire. Dans le cas annulaire, le ressort est circulaire.

Bien sûr, pour des raisons évidentes de continuité, si L est la longueur de l'anneau, il y a deux contraintes :

Pour tout :



En parallèle, je crois avoir progressé. Grâce aux propriétés ci-dessus, on peut peut-être imaginer une fonction périodique de période L et ainsi appliquer les propriétés des fonctions périodiques.

Par contre, cela implique un espace des impulsions linéaire et infini (séries de Fourier).

[inviteea028771]

Il vaut mieux parler de tore que "d'espace annulaire".

Sinon, oui, la transformée de Fourier sur le tore donne la suite des coefficients de la série de Fourier de la fonction periodique correspondante.


En fait on peut définir une transformée de Fourier sur tout groupe abélien localement compact muni de sa mesure de Haar (G,+,µ), en passant par le groupe des caractères unitaires de G (noté ):



Pour , les caractères sont les fonctions de la forme , et en identifiant le caractère à , on retrouve la transformée de Fourier usuelle :



Pour le tore , les caractères sont les fonctions de la forme , et on les identifie naturellement aux entiers relatifs. On retrouve alors la suite des coefficients de Fourier :




Bon, c'est pas forcément évident, et je retrouve plus de références, mais dans l'idée c'est ça

[A voir en vidéo sur Futura]

[Sethy]

Je n'ai pas tout tout compris, mais ça me confirme que je suis sur la bonne piste en matière de compréhension. Car pour ce qui est de l'objet de mon questionnement, ça m'en éloigne plutôt.

Si j'ai commencé avec l'anneau, je comptais passer au Tore par la suite. Pour moi le Tore est l'exemple type de l'espace à 2 dimensions "replié" sur lui même.

Merci pour la réponse.

[Sethy]

Je reviens sur un élément de ma question de départ. Qu'en est-il des espaces où évolue ces fonctions ?

J'ai toujours (peut être à tort) lié les espaces des deux fonctions reliées par une TF entre eux. La TF d'un fonction à 1D est également à 1D, celle d'une fonction à 2D est également à 2D, la TF d'une fonction à symétrie centrale (ou radiale) l'est également.

Je m'attendais un peu à ce que la TF d'une fonction définie sur un Tore, soit elle aussi dans un espace Toroïdal. Or visiblement, il n'en n'est rien.