Devoir maison TSI nombres complexes .

[invite1a82371c]

Bonjour alors voila j'ai un DM de math a faire et j'ai déjà presque tout fait cependant je bloque sur la dernière question .

Voici le début de l’énoncé:
On munit le plan P du repere orthonormal direct (O,u,v ) et de sa structure complexe associée.
On note A, B et C les points d'axes respectives 2i, −1 et i et on considérée l'application f de P\{A} dans
P qui a tout point M de P\{A} d'affixe z différent de 2i associe le point M' d'affixe z' définie par:
z'= z+1/z-2i

Et ceci est la question 5 dernière question de mon devoir.

On note x +iy la forme algébrique de z et Z=2iz +conjugé de z +2i
a) Exprimer Z en fonction de x et y
Alors pour cette question j'ai mis:
Z=2i(x+iy) +x-iy + 2i
Z= 2ix -2y +x -iy +2i
ReZ= x-2y
ImZ= 2x -y +2

Je pense qu c'est ce qu'il fallait trouver.
Ensuite on a
b) Démontrer que z' appartient à R si et seulement si Z appartient à R
Et la je bloque je pensais devoir utiliser le fait que si Z appartient à R alors ImZ=0
Donc faire :
ImZ= 2x-y + 2=0
ImZ=2x-y=-2
ImZ= -y= -x
Je ne suis pas sur de mon résultat et du coup je bloque et je ne peux pas terminer et faire la question c
c) En déduire l'ensemble des points tels que z' appartient à R et tracer cet ensemble.
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[gg0]

Bonjour.

"Démontrer que z' appartient à R si et seulement si Z appartient à R "
Si R est l'ensemble des réels, c'est faux avec l'énoncé que tu as écrit :

Cordialement.

NB : Je ne vois pas le rapport entre le a et le b
NBB : Tu peux faire la question 3 en supposant la 2 faite.

[invitec9d3e4ec]

"Démontrer que z' appartient à R si et seulement si Z appartient à R "
Si R est l'ensemble des réels, c'est faux avec l'énoncé que tu as écrit : z' = z + - 2i

Tu en es sûr? Il y a une différence dans l'énoncé entre z=x+yi et Z=2iz +conjugé de z +2i. Mais il faut s'assurer si c'est z' = z + - 2i ou z' = (z + 1)/(z - 2i) pour être sûr, oui.
(En testant avec z=1, j'obtiens Z=6 si z'=z + - 2i, il n'y a peut-être pas d'erreur d'énoncé, à confirmer).

@scaxel : Question a. : Je n'ai vu aucune erreur, ça me semble juste.
Question b. : Revoyez vos calculs à partir de ImZ = 2x - y + 2 = 0, la réponse finale est fausse (*)

Cordialement.

(*) et attention à la rédaction, vous avez écrit à la ligne suivante que ImZ = -2 ...

[invitec9d3e4ec]

@gg0 : oups, j'ai mélangé z et z' dans mon exemple, du coup il n'est pas bon .

Sinon, j'ai oublié les règles de politesse... je me rattrape : Bonjour à tou(te)s.

A+

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite1a82371c]

Bonjour alors hier soir j'ai réessayer le b et j'ai trouver cela :

z'= (x+iy+1)/x+iy-2i) afin d'obtenir une forme algébrique j'ai multiplié par le conjugué donc :

z'= (x+iy+1)(x-iy+2i)/ (x+iy-2i)(x-iy+2i)
z'= (x^2-ixy+2ix+ixy+y^2-2y+x-iy+2i) / (x^2-ixy+2ix+y^2-2y-2ix-2y+4)
z'=(x^2+2ix+y^2-2y+x-iy+2i) / (x^2+y^2-4y+4)
z'=(2ix-2y+x-iy+2i) / (-4y+4)

donc z'= Z/-4y+4 donc z' est réel .

Est-ce que cela vous semble juste ?

[invitec9d3e4ec]

Ah, ce que l'on voulait savoir : c'est z' = (z+1)/(z-2i) et non z' = z + 1/z - 2i , gg0 avait donc raison.

(De même que gg0, distinguez bien ces deux formes car justement elles ne sont pas égales et ça prête à confusion lorsqu'on veut comprendre le sujet ... A moins d'écrire en Latex, sous forme fractionnaire.)

z'= (x^2-ixy+2ix+ixy+y^2-2y+x-iy+2i) / (x^2-ixy+2ix+y^2-2y-2ix-2y+4)

Il manque un terme dans le dénominateur (mais vous l'avez compté mentalement pour la suite).

z'=(x^2+2ix+y^2-2y+x-iy+2i) / (x^2+y^2-4y+4)
z'=(2ix-2y+x-iy+2i) / (-4y+4)

Vous avez simplifié par x² + y², sauf que ici c'est un raisonnement faux : x²+y² n'est pas un facteur dans le dénominateur et dans le numérateur, c'est comme si vous écriviez que (2+1)/(2+3) était égal à 1/3.

Sinon, utiliser la forme conjuguée est une idée, j'ignore si elle peut aboutir, à voir... je ne sais pas.
En ne l'utilisant pas et en remplaçant z par x + yi dans l'expression z' comme vous l'avez fait au départ, on peut arriver à faire "quelque-chose" mais à condition de faire intervenir aussi ce que vous aviez trouvé dans votre premier message (question b.) et qu'il vous suffit de corriger (je n'en dit pas plus ).

Bon courage

[invite1a82371c]

Alors j'ai revu mes calculs et j'ai fait :

ImZ=2x+2-y =0
<=> 2x-y=-2
<=> x-y = -2/2
<=> x-y =-1 <=> -y = -1-x

Cependant je ne suis pas sur de mon résultats est ce juste ? Je n'arrive pas à voir ou est mon erreur.

[invitec9d3e4ec]

<=> 2x-y=-2
<=> x-y = -2/2

L'erreur est là, justement. Vous avez obtenu -2/2 en divisant les deux membres 2x-y et -2 par 2. Mais êtes-vous sûr que la moitié de 2x - y fasse x - y ?
Cordialement.

[invitec9d3e4ec]

@scaxel : je vais devoir m'absenter, je pense que d'autres intervenants auront le plaisir de pouvoir vous aider si vous avez encore besoin d'aide. Bonne fin d'après-midi.