Devoir sur les Nombres Complexes.

[invite7f0a3eb8]

Bonsoir à tous ,

J'ai un DM de Maths' à faire. Je l'ai commencé mais je ne suis pas sûr de mes résultats donc je vous fais parvenir le sujet ainsi que mes réponses.

Sujet:

Exercice 1: À tout nombre complexe z différent de -2i et de forme algébrique : z = x + iy , x et y étant des réels , on associe le nombre complexe Z.

Z= (z-2+i) / (z+2i)

1) Exprimer la partie réelle et la partie imaginaire de Z en fonction de x et y. On vérifiera que :

Re(Z) = (x²+y²-2x+3y+2) / [x²+(y+2)]

2) En déduire : - L'ensemble (E) des points M du plan complexe , d'affixe z , tels que Z est un réel.
- L'ensemble (F) des points M du plan complexe , d'affixe z , tels que Z est imaginaire pur.


Exercice 2: Quel est l'ensemble des points M du plan dont les affixes z vérifient :

1) z + z(barre) = |z|
2) z - z(barre) = i*|z|
3) i[(z-3i) / (z+1)] = 2-i

______________________________ _______________

Exo 1

1) J'ai remplacé les z par x+iy , puis j'ai multiplié par le conjugué du dénominateur et j'obtiens :

Z= (x-2+i+iy)*(x-iy-2i) / x²+(y+2)²

En développant , j'obtiens :

Z= (x² - ixy - 2ix - 2x - 2iy - 4i + ix + 2 - i²y + ixy + y² + 2y) / x² + (y+2)²

Soit Z= [x² + y² - 2x + 3y + 2 + i(-x-2y-4)] / x² + (y+2)²


2) Z est réel <=> Im(Z) = 0
<=> -x-2y-4 = 0
<=> y = -x/2 - 2.

(E) est la droite d'équation y = -x/2 - 2

Z est imaginaire pur <=> Re(Z) = 0

Après calcul , je trouve que (F) est un cercle de centre oméga et de rayon racine carré(5/4).


Exo 2

Pour cet exercice , je n'ai pas la méthode dans mon cours et avec le progrès , nous n'avons pas de livre de mathématiques ( Tous les profs sont au TNI ). Donc aucune méthode. Quels calculs dois-je faire ? Je sais que je dois trouver des ensembles et je m'attends à trouver des droites et/ou des points. Mais je ne sais pas comment y parvenir.

Voilà , si quelqu'un peut confirmer mes résultats et m'aider pour l'exercice 2 , je vous en serai très reconnaissant !

Lfcg.
-----

[invitefe6f47fa]

Bonsoir,

Exo 1

1) J'ai remplacé les z par x+iy , puis j'ai multiplié par le conjugué du dénominateur et j'obtiens :

Z= (x-2+i+iy)*(x-iy-2i) / x²+(y+2)²

En développant , j'obtiens :

Z= (x² - ixy - 2ix - 2x - 2iy - 4i + ix + 2 - i²y + ixy + y² + 2y) / x² + (y+2)²

Soit Z= [x² + y² - 2x + 3y + 2 + i(-x-2y-4)] / x² + (y+2)²

J'ai vérifié le calcul vite fait : les deux signes "-" en rouge c'est pas des signes "+"

Z= [x² + y² - 2x + 3y + 2 + i(-x+2y+4)] / x² + (y+2)²

Ciao.

[invite7f0a3eb8]

Ah oui effectivement , merci !

Et pour l'exo 2 personne n"a de pistes ? Je ne sais pas par quoi commencer.

[invitefe6f47fa]

Bonjour,

Exercice 2: Quel est l'ensemble des points M du plan dont les affixes z vérifient :

1) z + z(barre) = |z|
2) z - z(barre) = i*|z|
3) i[(z-3i) / (z+1)] = 2-i

Pour la 1ere par exemple:




En élevant au carré:



D’où:


Droite passant par l'origine. (C'est la même idée pour les questions 2 et 3)

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite7f0a3eb8]

Je vais essayer pour les autres alors !

[invite7f0a3eb8]

Si je suis ton raisonnement :

2iy = i*[racine carrée(x² + y²)]

Je passe au carré pour enlever la racine :

(2iy)² = i² *(x² + y²)
3 + y² = -x² - y²
2y² = -x² - 3
y² = -x/2 - 3/2
y= racine carrée(-1/2)*x - racine carrée(3/2)

Si je ne me suis pas trompé , c'est aussi une droite.

Pour le troisième :

i*[(x+iy-3i) / (x+iy+1)] = 2-i

Je pense multiplier le numérateur par i :

xi + i²y -3i² / x+iy+1 = 2-i
xi - y + 3 = 2-i
xi - y + 1 = i

Je passe au carré pour enlever le i je pense :

-x² - y² = -2
y² = 2 + x²
y= racine carrée(2) + x

Encore une droite donc ?

Je ne suis vraiment pas très sûr.

[invitefe6f47fa]

2iy = i*[racine carrée(x² + y²)]

Je passe au carré pour enlever la racine :

(2iy)² = i² *(x² + y²)
3 + y² = -x² - y²

(2iy)²=-4y²

et tu continues...




Je vérifierais la 3eme tout a l'heure je suis un peu pris la.

P.S: Tu aurais pu simplifier le i avant d’élever au carré

[invite7f0a3eb8]

Est ce que ma réponse trois est juste ?

[pallas]

attention je viens de voir que 3y²=x² donne NON
ceci donne x²-3y²=(x-yrac(3))(x+yrac(3))= 0 soit les deux droites d'équation y= xrac(3)/3 ou y= -xrac(3)/3 !!

[invite51d17075]

bonjour,
attention aux signes de x et y.
par exemple dans le premier cas:
x=rac(x²+y²) suppose que x est positif.
donc quand on élève au carré , et qu'on trouve une "droite".
il faut préciser que c'est la demi-droite ( avec x>0 ) !

[invitefe6f47fa]

Dans mon deuxième poste en réponse a la réponse 1 j'avais mis le signe

attention je viens de voir que 3y²=x² donne NON
ceci donne x²-3y²=(x-yrac(3))(x+yrac(3))= 0 soit les deux droites d'équation y= xrac(3)/3 ou y= -xrac(3)/3 !!

Au fait c'est Latex lol j'avais donné

Le signe je l'avais mis mais il n'est pas sorti

Ciao

[invitefe6f47fa]

Re,

Est ce que ma réponse trois est juste ?

Pour la 3eme questoin:


En remplacant par




Apres calculs...



Donc:



Et:



Deux droites!

P.S: Desole pour le retard

[invite51d17075]

Je passe au carré pour enlever la racine :

(2iy)² = i² *(x² + y²)
3 + y² = -x² - y²
2y² = -x² - 3
y² = -x/2 - 3/2
y= racine carrée(-1/2)*x - racine carrée(3/2)

Si je ne me suis pas trompé , c'est aussi une droite.

Pour le troisième :

i*[(x+iy-3i) / (x+iy+1)] = 2-i

Je pense multiplier le numérateur par i :

xi + i²y -3i² / x+iy+1 = 2-i
xi - y + 3 = 2-i
xi - y + 1 = i
Je passe au carré pour enlever le i je pense :

-x² - y² = -2y² = 2 + x²
y= racine carrée(2) + x

Encore une droite donc ?

Je ne suis vraiment pas très sûr.

mais quelles horreurs !!!!!!!
on dirait du de la belote de comptoir ! ou du bonetto !!!

[Duke Alchemist]

Bonsoir.

...
Donc:



Et:



Deux droites!

Si les deux conditions doivent être simultanément vérifiées (c'est ce qu'indique le "Et") alors la solution finale ne devrait-elle pas être l'intersection de ces droites ?

Duke.

[invitefe6f47fa]

Bonsoir.Si les deux conditions doivent être simultanément vérifiées (c'est ce qu'indique le "Et") alors la solution finale ne devrait-elle pas être l'intersection de ces droites ?

Duke.

Tres bonne remarque j'avais pas fait attention !!!

[invite7f0a3eb8]

Merci à tous pour votre aide , vraiment ! Il va falloir que je travaille les nombres complexes encore plus souvent. Je trouve cela compliqué.

[Duke Alchemist]

Bonjour.

Mais non les nombres complexes ne sont pas compliqués juste... complexes...

OK

Duke.