valeur absolue et produit scalaire euclidien

invite50fe7245 · 26/09/2013, 11h28

bonjour à tous
je vous remercie d'avance pour vos réponses car je ne sais pas trop sur quoi statuer en ce qui concerne le produit scalaire euclidien lorsque il s'agit d'un espace vectoriel sur $\text{[math]}$
ais-je le droit de faire ça?voir TH-> plus bas il est anoté TH

en préalable je pose les conventions suivantes afin d'être clair dans ma question

1ere\ conventions/dénititions/théorêmes : on pose les conventions de notations suivantes
$\text{[math]}$ qui désigne l'un des deux corps et uniquement l'un des deux
soit $\text{[math]}$ soit $\text{[math]}$ et aucun autre

$\text{[math]}$ qui désigne l'ensemble des réels strictements positifs
de sorte que $\text{[math]}$
la notation $\text{[math]}$ de sorte que $\text{[math]}$
et enfin la notation $\text{[math]}$
de sorte que $\text{[math]}$

2eme\ conventions/dénititions/théorêmes : étant bien assimilé que sur $\text{[math]}$
il n'existe pas de relation d'ordre total de la forme [tex] x\geq y[tex]

3eme\ conventions/dénititions/théorêmes : étant entendu qu'un corps peut être munis d'une valeur absolue noté $\text{[math]}$ dans la condition qu'il soit possible d'établir les trois conditions suivantes:
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$
$\text{[math]}$

4eme\ conventions/dénititions/théorêmes :étant entendu que tout aussi bien le corps des réel $\text{[math]}$ que le corps des complexes $\text{[math]}$ peuvent êtres munis d'une valeur absolue

effectivement ce que l'on peut constater par cet exemple:
soit un élément quelconque $\text{[math]}$
je pose la notation $\text{[math]}$ qui désigne
soit une application de $\text{[math]}$ dans $\text{[math]}$
soit une application de $\text{[math]}$ dans $\text{[math]}$
soit enfin une application de $\text{[math]}$ dans $\text{[math]}$

lorsque $\text{[math]}$ alors $\text{[math]}$ on obtiens $\text{[math]}$
lorsque $\text{[math]}$ alors $\text{[math]}$ on obtiens $\text{[math]}$
lorsque $\text{[math]}$ alors $\text{[math]}$ on obtiens
si $\text{[math]}$ alors $\text{[math]}$
si $\text{[math]}$ alors $\text{[math]}$

il résulte que selon ce qu'on a dit auparavant alors $\text{[math]}$ constitue une valeur absolu de x
on verifie évidemment aussi $\text{[math]}$
et $\text{[math]}$

ici pour $\text{[math]}$ alors $\text{[math]}$ n'est pas le module de x mais bien sa valeur absolu

5eme\ conventions/dénititions/théorêmes :

un K-espace vectoriel E
est un groupe abélien (commutatif) dont la loi est conventionnellement notée + et son élément neutre est noté au choix $\text{[math]}$ ou $\text{[math]}$
les éléments sont nommés vecteurs conventionnellements notées $\text{[math]}$
de plus il est munis d'une autre structure il s'agit d'une loi de composition nommée "produit par un scalaire" et conventionnellement notée par un point . et externe à gauche $\text{[math]}$ telle que
K est un corps (commutatif ou non c'est à dire que sa seconde loi . peut être non commutative ) dont les éléments sont nommés scalaires
cette loi vérifie quatre propriétés
*élément neutre à gauche
$\text{[math]}$ 1.
**associativité par rapport au produit des scalaires
$\text{[math]}$
***distributivité par rapport à l'addition des scalaires
$\text{[math]}$
****distributivité par rapport à l'addition des vecteurs
$\text{[math]}$

un K-espace vectoriel E peut être munis d'un produit scalaire qui est une loi $\text{[math]}$
elle verifie trois proprietes
* $\text{[math]}$ commutativité
** $\text{[math]}$
distributivité par rapport à l'addition des vecteurs
*** $\text{[math]}$
le produit par un scalaire est associatif par rapport au produit scalaire

TH-> on verifie donc
$\text{[math]}$

de sorte que pour un espace vectoriel E munis d'un produit scalaire on obtiens que le produit par un scalaire est tout aussi bien un produit externe à gauche qu'à droite
donc tout aussi bien definit ainsi $\text{[math]}$ que ainsi $\text{[math]}$

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ALORS voilà le problème

je suis tombé sur un bouquin de physique fait par un mathématicien stipulant ceci

un espace vectoriel munis d'un produit scalaire euclidien doit en plus des trois proprietes precedentes avoir les deux suivantes
*si quelque soit $\text{[math]}$ est un vecteur de E on a $\text{[math]}$
alors obligatoirement $\text{[math]}$
** $\text{[math]}$ on obtiens toujours $\text{[math]}$
et si $\text{[math]}$ alors on obtiens toujours $\text{[math]}$

ma question est que cette derniere propriete rend impossible qu'un K espace vectoriel E soit euclidien si K est l'ensemble des nombres complexes

l'auteur se serait -il trompé ? n'aurait-il pas mieux valu de dire plutôt
** $\text{[math]}$ on obtiens toujours :
$\text{[math]}$
en utilisant la valeur absolue pour un nombre complexe donnée plus haut

oui effectivement non?

invite50fe7245 · 26/09/2013, 12h18

je corrige je voulais dire