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1/(n+1) <= n!*somme ( 1/k!,k=n+1..infini) <= 1/n



  1. #1
    elpha01

    1/(n+1) <= n!*somme ( 1/k!,k=n+1..infini) <= 1/n


    ------

    Bonjour à tous,
    je travaille actuellement sur un exercice:

    Soit Rn = somme [de k allant de n+1 à + infini] de 1/k!

    et il faut montrer que 1/(n+1) < ou = n! * Rn < ou = à 1/n

    J'ai un peu de mal à avoir une piste concrète

    J'ai essayé:
    de simplifier Rn et ajoutant et soustrayant somme [de k allant de 0 à n] de 1/k!
    de regarder des équivalences
    de regarder les développements asymptotiques

    Je pensais aussi à passer par les séries en posant un = 1/n!

    Si vous avez quoique soit qui pourrait m'aider j'en serai ravi, merci.

    -----
    Dernière modification par elpha01 ; 29/09/2013 à 15h51.

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  4. #2
    elpha01

    Re : 1/(n+1) <= n!*somme ( 1/k!,k=n+1..infini) <= 1/n

    Il y a un truc aussi c'est la comparaison avec une intégrale, je suis en train de regarder si ça peut être utile.

  5. #3
    Seirios

    Re : 1/(n+1) <= n!*somme ( 1/k!,k=n+1..infini) <= 1/n

    Bonjour,

    Pour l'inégalité , c'est plutôt simple, il suffit de développer la série et de regarder le premier terme. Pour l'inégalité , une réccurrence fonctionne.
    If your method does not solve the problem, change the problem.

  6. #4
    elpha01

    Re : 1/(n+1) <= n!*somme ( 1/k!,k=n+1..infini) <= 1/n

    Merci beaucoup!
    Je vais regarder ça

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  8. #5
    elpha01

    Re : 1/(n+1) <= n!*somme ( 1/k!,k=n+1..infini) <= 1/n

    J'ai un problème pour la récurrence:

    on part de
    n! * Σ k = n+1 .... < 1/n

    n! *( 1/(n+1)! +Σ k = n+2 .... < 1/n

    je multiplie à gauche et à droite par n+1

    (n+1)! * ( 1/(n+1)! +Σ k = n+2 .... < 1+ 1/n
    1 + (n+1)! * Σ k = n+2 ... < 1 + 1/n
    du coup c'est < 1/n et non 1/(n+1)

  9. #6
    Seirios

    Re : 1/(n+1) <= n!*somme ( 1/k!,k=n+1..infini) <= 1/n

    Une possibilité est de partir de et de montrer que .
    If your method does not solve the problem, change the problem.

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  11. #7
    elpha01

    Re : 1/(n+1) <= n!*somme ( 1/k!,k=n+1..infini) <= 1/n

    <0 tu veux dire?

  12. #8
    elpha01

    Re : 1/(n+1) <= n!*somme ( 1/k!,k=n+1..infini) <= 1/n

    n! * Rn < 1/n

    n! * Rn - 1/(n+1) < 1/n - 1/(n+1)

    (n+1) (n! * Rn - 1/(n+1)) < (n+1)/ n - 1

    (n+1)! Rn+1 < 1 + (1/n) - 1


    et on retrouve le < 1/n et non < 1/(n+1)

  13. #9
    Seirios

    Re : 1/(n+1) <= n!*somme ( 1/k!,k=n+1..infini) <= 1/n

    Tu peux oublier ce que j'ai dit, je me suis embrouillé quelque part...

    Ce que l'on souhaite montrer, c'est donc ou autrement dit . Mais , donc . D'un autre côté, . Finalement, on obtient dès que .

    Ce qui montre bien , sauf erreur de calcul (il y a peut-être également plus simple).
    If your method does not solve the problem, change the problem.

  14. #10
    elpha01

    Re : 1/(n+1) <= n!*somme ( 1/k!,k=n+1..infini) <= 1/n

    Et en utilisant ça http://www.bibmath.net/formulaire/serienum/img30.gif ce ne serait pas plus simple? avec uk = 1/k!

  15. #11
    Seirios

    Re : 1/(n+1) <= n!*somme ( 1/k!,k=n+1..infini) <= 1/n

    Et qu'est-ce que ici ?
    If your method does not solve the problem, change the problem.

  16. #12
    elpha01

    Re : 1/(n+1) <= n!*somme ( 1/k!,k=n+1..infini) <= 1/n

    Justement c'est ça le problème, normalement f(n)=un mais x->1/x! ne traite que des entiers naturels donc on ne peut pas faire d'intégrale.

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  18. #13
    Seirios

    Re : 1/(n+1) <= n!*somme ( 1/k!,k=n+1..infini) <= 1/n

    Une possibilité serait d'utiliser la fonction gamma, mais cela risque de compliquer les choses...
    If your method does not solve the problem, change the problem.

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