1/(n+1) <= n!*somme ( 1/k!,k=n+1..infini) <= 1/n

[invitecf16703b]

Bonjour à tous,
je travaille actuellement sur un exercice:

Soit Rn = somme [de k allant de n+1 à + infini] de 1/k!

et il faut montrer que 1/(n+1) < ou = n! * Rn < ou = à 1/n

J'ai un peu de mal à avoir une piste concrète

J'ai essayé:
de simplifier Rn et ajoutant et soustrayant somme [de k allant de 0 à n] de 1/k!
de regarder des équivalences
de regarder les développements asymptotiques

Je pensais aussi à passer par les séries en posant un = 1/n!

Si vous avez quoique soit qui pourrait m'aider j'en serai ravi, merci.
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[invitecf16703b]

Il y a un truc aussi c'est la comparaison avec une intégrale, je suis en train de regarder si ça peut être utile.

[Seirios]

Bonjour,

Pour l'inégalité , c'est plutôt simple, il suffit de développer la série et de regarder le premier terme. Pour l'inégalité , une réccurrence fonctionne.

[invitecf16703b]

Merci beaucoup!
Je vais regarder ça

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitecf16703b]

J'ai un problème pour la récurrence:

on part de
n! * Σ k = n+1 .... < 1/n

n! *( 1/(n+1)! +Σ k = n+2 .... < 1/n

je multiplie à gauche et à droite par n+1

(n+1)! * ( 1/(n+1)! +Σ k = n+2 .... < 1+ 1/n
1 + (n+1)! * Σ k = n+2 ... < 1 + 1/n
du coup c'est < 1/n et non 1/(n+1)

[Seirios]

Une possibilité est de partir de et de montrer que .

[invitecf16703b]

<0 tu veux dire?

[invitecf16703b]

n! * Rn < 1/n

n! * Rn - 1/(n+1) < 1/n - 1/(n+1)

(n+1) (n! * Rn - 1/(n+1)) < (n+1)/ n - 1

(n+1)! Rn+1 < 1 + (1/n) - 1


et on retrouve le < 1/n et non < 1/(n+1)

[Seirios]

Tu peux oublier ce que j'ai dit, je me suis embrouillé quelque part...

Ce que l'on souhaite montrer, c'est donc ou autrement dit . Mais , donc . D'un autre côté, . Finalement, on obtient dès que .

Ce qui montre bien , sauf erreur de calcul (il y a peut-être également plus simple).

[invitecf16703b]

Et en utilisant ça http://www.bibmath.net/formulaire/serienum/img30.gif ce ne serait pas plus simple? avec uk = 1/k!

[Seirios]

Et qu'est-ce que ici ?

[invitecf16703b]

Justement c'est ça le problème, normalement f(n)=un mais x->1/x! ne traite que des entiers naturels donc on ne peut pas faire d'intégrale.

[Seirios]

Une possibilité serait d'utiliser la fonction gamma, mais cela risque de compliquer les choses...