Intervalles ouvert et fermés équipotents [MPSI]

[invite199115c9]

Bonjour à tous,

Je n'arrive pas à prouver que les intervalles ]0,1[ et [0,1] sont équipotents. Comment choisir la bijection de ]0,1[ dans [0,1] ?

Merci d'avance de votre aide
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[Seirios]

Bonjour,

Tu n'es pas obligé de trouver une bijection pour montrer qu'ils sont équipotents, il te suffit de trouver une injection puis (grâce au théorème de Cantor-Bernstein).

[Médiat]

Bonjour,

La solution de Seirios est excellente, mais, pour le plaisir, on peut fabriquer une bijection de :

f(1/2) = 0
f(1/3) = 1
si x est de la forme 1/n pour n entier > 3 : f(x) = 1/(n-2)
Si x n'est pas de la forme 1/n pour n entier : f(x) = x

[invite179e6258]

pas mal. L'hôtel de Hilbert noyé dans l'intervalle [0,1].

[A voir en vidéo sur Futura]

[albanxiii]

Bonjour,

C'est rassurant de voir qu'on a les mêmes réponses partout

http://www.les-mathematiques.net/pho...d.php?3,870410

@+

[Médiat]

L'hôtel de Hilbert noyé dans l'intervalle [0,1].

Exact, le tout étant basé sur le résultat ordinal :

[invited3a27037]

Amusant
La méthode de Médiat marche aussi dans l'autre sens

f(0)=1/2
f(1)=1/3
f(1/2)=1/4
f(1/3)=1/5
si x est de la forme 1/n pour n entier > 3 : f(x) = 1/(n+2)
Si x n'est ni 0, ni 1, ni de la forme 1/n pour n entier, : f(x) = x

f est une bijection

[Médiat]

Amusant
La méthode de Médiat marche aussi dans l'autre sens

Normal pour une bijection, non ?

[Amanuensis]

C'est rassurant de voir qu'on a les mêmes réponses partout

http://www.les-mathematiques.net/pho...d.php?3,870410

Avec peaisge = pe ais ge = PSG ?