bonjour a tous,
je vous contacte car j'aurais besoin d'un coup de main concernant l'étude de la convergence de la série sin(n)/n
je désire utiliser le théoreme d'Abel
j'ai posé an=sin(n)
Alors An=somme de k allant de 1 à n de sin(k) doit etre bornée , et je n'arrive pas à le montrer.
je suis parti du fait que sin(k)=Im(exp(ik))
j'en suis à An=Im(exp(i)*((1-exp(in)/(1-exp(i)))
je dois borner cette expression, mais je bloque....
Quelqu'un aurait-il une idée ?
Merci d'avance
Bonsoir,
Ceci peut peut-être vous aider:(+ le fait que la valeur absolue d'une somme est plus petite ou égale à la somme des valeurs absolues.)
Bonsoir.
Peut-être revenir à la forme algébrique (donc avec des sin et cos, qui ne varient pas trop).
Cordialement.
Paraboloide_Hyperbolique, merci pour toutes ces infos mais je ne vois pas comment les utiliser...
revenir avec des cos et des sin peut etre une bonne idée, mais comment il me faudrait avoir séparement Im(exp(i)), Im(exp(ni))...pour transformer cela en cos et sinus..
Je ne vois pas trop comment me dépêtrer de ce calul car Im() englobe tout le quotient ...
Merci d'avance
Ben ... c'est du calcul courant sur les complexes. On multiplie haut et bas par le conjugué du dénominateur, on remplace les exponentielles complexes par leur écriture trigonométrique, on développe et on garde la partie imaginaire.
Uniquement des techniques apprises en terminale.
Cordialement.
ah oui , c'est vrai , ça fait longtemps que je n'en avait pas fait....
Bref, je trouve un résultat un peu bizarre
j'ai pour la partie imaginaire que je cherchai:
(sin(1)+sin(2)-sin(n+1)-sin(n+2))/(1-cos(2)-sin(2))
et donc, le module de cela serait inférieur à : (je ne suis pas sur de moi)
(2+sin(1)+sin(2))/(1-cos(2)-sin(2)) ?
Merci d'avance
Je comprends la méthode, une fois vu que le dénominateur est positif.
Mais je suis surpris par ce 1-cos(2)-sin(2). Le module au carré de 1-exp(i) est 2+2cos(1).
Cordialement.
et bien, si je reprend la calcul du début, j'ai multiplié par (1+exp(i)) au numérateur et au dénominateur, ce qui me donne 1+exp(2i) au dénominateur. je passe ensuite sous forme de cosinus et de sinus, et j'obtiens au dénominateur, 1-cos(2)-sin(2). je mets l'expression sous forme a+ib pour identifier la partie imaginaire, et je trouve le résultat que j'ai énoncé dans mes messages précédents, c'est-a-dire:
(sin(1)+sin(2)-sin(n+1)-sin(n+2))/(1-cos(2)-sin(2))
je passe a la valeur absolue, et j'essaye de borner cette expression dans laquelle les deux derniers termes du numérateur qui peuvent prendre chacun pour plus grande valeur 1, soit une somme de 2.
C'est ainsi que j'ai trouvé:
(2+sin(1)+sin(2))/(1-cos(2)-sin(2))
Est-ce que vous pourriez me dire où ma méthode (ou mes calculs) sont faux svp ? parceque j'ai du me trompé quelque part mais où......
Merci d'avance
1+exp(i) n'est pas le conjugué du dénominateur, ce qui fait que tu es obligé de calculer sur une expression plus compliquée.
En multipliant par le conjugué du dénominateur, on obtient le carré du module de ce dénominateur, donc un réel strictement positif.
Toi, tu fais le calcul (1-exp(i))(1+exp(i))=1-exp(2i) =1-cos2-isin(2) en te trompant (tu oublies le i !!); donc tu as faux !
ah oui d'accord!
Je reprends donc le calcul:
On cherche Im(exp(i)*((1-exp(in)/(1-exp(i)))
or, 1-exp(i)=1-cos(1)-isin(1)
et donc si on multiplie par le conjugué, on a alors au dénominateur:
(1-cos(1)-isin(1))*(1-cos(1)+isin(1)) = 1-(cos(1))^2+(sin(1)^2)= 2(sin(1))^2
Ca irait mieux avec cette expression ?
(1-cos(1)-isin(1))*(1-cos(1)+isin(1)) = 1-(cos(1))^2+(sin(1)^2)
Tu devrais peut-être refaire une terminale pour revoir comment on calcule le produit d'un complexe par son conjugué. Ou une troisième pour apprendre à développer des produits de sommes.
Ne peux-tu te forcer à faire attention : Savoir quelle règle tu appliques, et vérifier que tu l'as appliquée strictement.
Le conjugué de 1-exp(i) est 1-exp(-i) (formules du cours de terminale S)
Cordialement.
NB : Un calcul faux ne servant à rien, il faut apprendre à calculer juste.
j'ai vu mon prof et il m'a dit n'abandonner cette méthode et m'en a conseillé une plus simple
on repart de exp(i)*((1-exp(in)/(1-exp(i))
en multipliant en haut par exp(in/2) et en bas par exp(i/2) , je devrais voir quelque chose, et le calcul se simplifierait alors en un produit de sinus au numérateur et un sinus au dénominateur, seulement voila, je ne vois pas l'astuce qu'il utlise ..
Pouvez-vous m'en dire d'avantage ?
Merci d'avance
Ok.
On sort des calculs classiques de terminale (qui ne posent pas de problème) et on passe à un truc classique, qui, pour borner en module, est plus efficace.
Il ne s'agit généralement pas de multiplier, mais de factoriser. Bien qu'ici on puisse multiplier par des exp(ia) sans changer le module, puisqu'on multiplie par un complexe de module 1.
Prenons le numérateur :
1-exp(in)=-(exp(in)-1)=-exp(in/2)(exp(...)-exp(...))
Et la parenthèse te rappelle quelque chose (j'espère, car c'est du classique).
On fait de même en bas, et on majore en module (toutes les exponentielles en facteur donnent 1).
Cordialement.
NB : Ton prof a tort de ne pas te conseiller de finir ton calcul. Si tu es gêné par ce type de "petit calcul", tu vas souffrir. A l'examen, entre autres.
j'ai factorisé et j'ai : -(exp(in)-1)=-(exp(in/2)*(exp(in/2)-exp(-in/2)) , si je ne suis pas encore trompé.
j'ai pensé a: sin(n/2)=(exp(in/2-exp(-in/2)/(2i)
et donc, j'aurais: -(exp(in/2)*(2isin(n/2))
qu'en dites -vous ?
était-ce l'astuce dont vous parliez ?
merci
C'est ça !
Et tu peux la retenir. Mais savoir faire un calcul élémentaire jusqu'au bout est plus utile qu'apprendre des astuces.
ok merci je crois que c'est bon pour ce calcul .
je vais donc continuer cet exercice et vous contacterai si je rencontre encore des problemes
