Hypothèse de Riemann, Cantor, indécidabilité et véracité

[NicoEnac]

Bonjour,

Vous allez me dire que j'ai mis volontairement un intitulé accrocheur pour capter votre attention (en tout cas, il capterait la mienne) mais mon sujet y est bien lié.

Je lis actuellement un livre passionnant et bien écrit, "La symphonie des nombres premiers", de Marcus du Sautoy qui narre les avancées historiques dans la quête aux nombres premiers. Mon niveau en maths est celui d'un ancien élève de maths spé donc je présente mes excuses si mon langage n'est pas celui d'un initié et/ou si je dis des grossièretés mathématiques.

Je bloque quelque peu sur une partie dans laquelle l'auteur évoque le fait qu'un théorème est indécidable ou improuvable (les deux termes sont-ils synonymes ?).
Gödel a ainsi prouvé que pour un système d'axiomes donné et fini il existe des énoncés impossibles à démontrer.
A la lecture de cela, mon cerveau a ainsi classé directement les énoncés/théorèmes mathématiques en 3 catégories : Vrai, Faux et Indécidable.

Cependant, la suite du livre m'a détrompé car à l'évocation de Turing qui prouva que si l'hypothèse de Riemann était indécidable alors elle était vraie (*), j'ai compris que Vrai, Faux et Indécidable ne composaient pas trois "états" distincts.

Pire que cela, l'auteur raconte également l'histoire de Cohen qui montra que le premier problème de Hilbert sur la question de Cantor sur les infinités de Cantor est à la fois vrai et faux (**).

A l'évidence, ma vision simpliste n'est pas la bonne.

Ma première question provient de (*) : ce raisonnement n'est-il pas applicable à tout problème ?
S'il est indécidable et faux, cela sous-entend qu'il existe un contre-exemple. Mais s'il existe un contre-exemple, alors on peut le trouver. Donc ce n'est pas indécidable. Donc si on a prouvé qu'il est indécidable, c'est que notre hypothèse de fausseté est erronée. Donc l'énoncé est vrai. Puis-je ainsi affirmer que tout énoncé indécidable est vrai ?

Ma seconde question vient de (**) : moi qui vivait jusqu'à présent dans un monde de manichéen bisounours où tout énoncé était soit vrai soit faux, je suis tombé des nues ! J'ai l'intuition que si on peut tomber sur un résultat comme celui-ci, c'est que justement les axiomes sur lesquels on se base ne sont pas suffisants, pas assez "complets". Mais le fait qu'un énoncé puisse être vrai et faux à la fois, n'est-ce justement pas ce qu'on appelle l'indécidabilité ?

Troisième et dernière question : s'il existe des énoncés à la fois vrais et faux, se peut-il qu'il en existe qui ne soient ni l'un ni l'autre ?

Bon voilà, j'espère que ce n'est pas trop confus et vous remercie de votre patience.

Au passage, si vous avez des livres à me conseiller pour apprendre sur le sujet, je suis preneur par mp.

Bonne journée !
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[invite29cafaf3]

Mais le fait qu'un énoncé puisse être vrai et faux à la fois, n'est-ce justement pas ce qu'on appelle l'indécidabilité ?

Non, l'indécidabilité est que l'on ne PUISSE PAS prouver qu'il soit vrai OU qu'il soit faux et non pas que l'on PUISSE prouver qu'il est vrai ET qu'il est faux ... ce qui n'est pas du tout, mais alors pas du tout la même chose.

Dans ce que vous évoquez on pourrait prouver une chose et son contraire : soyons pragmatique, donnez nous un exemple !

Je sens déjà que ce pauvre Gödel va encore souffrir. Mais confidentiellement, plutôt que de lire le théorème d'incomplétude de Gödel, allez donc jeter un petit coup d'oeil sur le théorème de COMPLETUDE de ce cher Kurt (théorème dont personne ne parle jamais).

Bonne journée

[gg0]

Bonjour NicoEnac.

Voici un énoncé "x=2". peut-on dire qu'il est vrai ? Qu'il est faux ? qu'il est indécidable ? qu'il est démontrable ?

En fait, les mathématiques, telles qu'on les construit actuellement, on un peu évacué la question du vrai au profit de la question du "démontrable dans telle théorie". On peut ensuite considérer comme vrai ce qui est démontré (ou démontrable) dans une théorie généralement acceptée, par exemple que 0 et 1 sont différents dans un corps (c'est faux dans la théorie du corps à un élément, mais elle n'est pas "généralement acceptée"). C'est dans ce cadre qu'on montre qu'une propriété est indécidable dans une théorie, en utilisant une "sur théorie" où le théorème d'indécidabilité est "vrai".

Il y a des passages de ton texte qui me paraissent bizarre, par exemple " Turing qui prouva que si l'hypothèse de Riemann était indécidable alors elle était vraie " ?? Tu es sûr ?

Cordialement.

[Médiat]

Bonjour,

Je bloque quelque peu sur une partie dans laquelle l'auteur évoque le fait qu'un théorème est indécidable ou improuvable (les deux termes sont-ils synonymes ?).

Non, une formule est indécidable si elle n'est pas prouvable et sa négation non plus.

Gödel a ainsi prouvé que pour un système d'axiomes donné et fini il existe des énoncés impossibles à démontrer.

Pas tout à fait :

Gödel a prouvé que dans le cadre de la logique du premier ordre, toute théorie permettant de formaliser l'arithmétique et récursivement axiomatisable (ce qui n'est pas la même chose que finiment axiomatisable) est soit inconsistante soit incomplète.

A la lecture de cela, mon cerveau a ainsi classé directement les énoncés/théorèmes mathématiques en 3 catégories : Vrai, Faux et Indécidable.

Dans le cadre d'une théorie donnée.

Cependant, la suite du livre m'a détrompé car à l'évocation de Turing qui prouva que si l'hypothèse de Riemann était indécidable alors elle était vraie (*), j'ai compris que Vrai, Faux et Indécidable ne composaient pas trois "états" distincts..

Et ça c'est l'horreur absolue que je ne cesse de combattre (ne serait-ce qu'ici), ce que veut, sans doute, dire votre livre c'est que si l'hypothèse de Riemann est indécidable, alors elle est vraie dans un certain modèle particulier, qui doit tenir particulièrement au cœur de l'auteur, et que, peut-être, avec un minimum d'honnêteté, il n'a pas oublié de citer.

Pire que cela, l'auteur raconte également l'histoire de Cohen qui montra que le premier problème de Hilbert sur la question de Cantor sur les infinités de Cantor est à la fois vrai et faux (**).

cf. la réponse de pelkin.

Ma première question provient de (*) : ce raisonnement n'est-il pas applicable à tout problème ?
S'il est indécidable et faux, cela sous-entend qu'il existe un contre-exemple. Mais s'il existe un contre-exemple, alors on peut le trouver. Donc ce n'est pas indécidable. Donc si on a prouvé qu'il est indécidable, c'est que notre hypothèse de fausseté est erronée. Donc l'énoncé est vrai. Puis-je ainsi affirmer que tout énoncé indécidable est vrai ?

Vous pouvez jeter un coup d'œil au théorème 17 et la suite du document arithmetique.pdf : http://forums.futura-sciences.com/ma...ml#post3958163

Ma seconde question vient de (**) : moi qui vivait jusqu'à présent dans un monde de manichéen bisounours où tout énoncé était soit vrai soit faux, je suis tombé des nues ! J'ai l'intuition que si on peut tomber sur un résultat comme celui-ci, c'est que justement les axiomes sur lesquels on se base ne sont pas suffisants, pas assez "complets". Mais le fait qu'un énoncé puisse être vrai et faux à la fois, n'est-ce justement pas ce qu'on appelle l'indécidabilité ?

cf. la réponse de pelkin

[A voir en vidéo sur Futura]

[Médiat]

Mais confidentiellement, plutôt que de lire le théorème d'incomplétude de Gödel, allez donc jeter un petit coup d'oeil sur le théorème de COMPLETUDE de ce cher Kurt (théorème dont personne ne parle jamais).

Merci, vous savez, sans doute, que je ne rate jamais une occasion de dire que le théorème de complétude est plus important que celui d'incomplétude.

[Médiat]

Il y a des passages de ton texte qui me paraissent bizarre, par exemple " Turing qui prouva que si l'hypothèse de Riemann était indécidable alors elle était vraie " ?? Tu es sûr ?

Malheureusement cet abus de langage inacceptable est très répandu (je l'ai lu en autre sous la plume de Girard, une des raisons pour lesquelles je ne l'aime pas beaucoup

[invite29cafaf3]

Bonjour,

Je viens d'aller faire un petit tour sur le cursus de Marcus du Sautoy (que je ne connaissais pas je l'avoue) et le personnage est intéressant. Mais, il y a un petit mais, NicoEnac semble prendre le contenu comme avéré.
Pourtant, le livre est l'histoire de la quête et de la connaissance des nombres premiers, Marcus du Sautoy NE SE PRONONCE PAS quant à la pertinence des différents exposés.

Bref, il ne me semble ici pas avoir sujet à polémique, il suffit de recadrer le sujet.

En bref, soit NicoEnac à une position et il l'exprime, ce qui ne pose aucun problème, soit on ne peut que disserter sur l'évolution des concepts (et il suffit de lire Marcus du Sautoy).

[invite29cafaf3]

Merci, vous savez, sans doute, que je ne rate jamais une occasion de dire que le théorème de complétude est plus important que celui d'incomplétude.

Et je suis entièrement d'accord avec vous ; le malheur, c'est que le théorème d'incomplétude incite plus à la poésie, au rêve, à l'interprétation (surtout si on ne le comprend pas) et qu'il fut récupéré par de nombreux philosophes (dont je tairai le nom) qui en ont usé et abusé de façon immodérée (et en aucun cas mathématique), mais qui ont plu dans le public.

[invite179e6258]

c'est que le théorème d'incomplétude a eu une très grande importance historique, en ce qu'il a annihilé les espoirs de Hilbert, Russel et d'autres et par là même relégitimé le camp intuitionniste (déjà en perte de vitesse il est vrai).

[NicoEnac]

, NicoEnac semble prendre le contenu comme avéré.

Tout à fait. A mon humble niveau, je cherche à me documenter sur un sujet qui me passionne. Et effectivement, je prends (jusqu'à présent) ce qui est écrit dans ce livre pour argent comptant.

En bref, soit NicoEnac a une position et il l'exprime, ce qui ne pose aucun problème,

Oulà ! Loin de moi l'idée de prendre position pour le moment étant donné que ces concepts sont nouveaux pour moi.
C'est juste qu'à la lecture du livre, plusieurs points m'ont rendu confus par rapport à la compréhension instinctive de ce que je lisais.

En ce qui concerne le théorème d'incomplétude, je me souviens avoir lu un sujet (de Médiat il me semble) sur ce forum qui l'expliquait à l'aide d'une analogie pratique ce qui m'a permis (je crois ) de le comprendre.

Merci en tout cas pour vos réponses. J'ai pu comprendre que je suis loin d'avoir le bagage au niveau des connaissances et du vocabulaire pour poser des questions pertinentes.
Je reviendrai les poser lorsque j'aurai un peu étoffer ces connaissances.

[Médiat]

Là, sans doute : http://forums.futura-sciences.com/ma...ml#post3955714