Bonjour tout le monde
J'aimerais caractériser l'ensemble des matrices carrées de taille n qui conservent la direction:
Quelque soit x dans Rn, K*x est colinéaire à x.
Pour ceux qui veulent savoir d'où vient la question, je m'intéresse aux lois linéaires de type fourier j=-l*grad(T) ou darcy v=-k*grad(h) mais dans des cas anisotropiques: les coefficients l et k varient donc selon la direction du vecteur gradient.
Je m’intéresse donc en particulier à n=3 ou 2.
Merci pour vos avis ^^
Bonjour.
Il n'est pas trop difficile de voir ce qui se passe en dimension 2 : Tu prends deux vecteurs linéairement indépendants, x et y, et leurs images kx et ly. Que se passe-t-il si k et l sont différents ? ou plus simplement, si l=k+k', regarde l'image de x+y.
Bonne réflexion !
Salut gg0.
Je n'ai pas très bien compris ou tu veux en venir avec k et l et ce qu'ils représentent: dans mon poste k était la conductivité hydraulique et l la conductivité thermique.
Après réflexion, je pense que comme les droites vectorielles engendrées par les vecteurs de la base canonique sont stables par la matrice K alors celle-ci est diagonale...
En dimension 3, en posant K*x vectoriel x =0 quelque soit x je trouve que les 3 composantes de K sont égales: et le milieu est isotrope.
En dimension 2, en posant en faisant det(K*x,x) je trouve la même chose.
La modélisation par une matrice est donc caduque pour les milieux anisotropes ?
J'ai l'impression que tu mélanges 2 choses : L'algèbre linéaire et la manipulation de deux (ou plusieurs) variables indépendantes d'unités différentes.
En algèbre linéaire, on ajoute des éléments de directions différentes; par contre, il ne viendrait à personne l'idée d'ajouter des unités différentes. Même si on peut représenter deux variables dans un même plan.
Le fait, dans un espace longueur/masse de multiplier la longueur par 2 et de diviser la masse par 3 ne se traduit pas par une conservation de la direction : Aucune autre direction que celle de la masse et celle de la longueur n'a de signification. place quelques points alignés dans le plan longueur/masse, et regarde ce qu'ils deviennent dans la tansformation que je propose ...
Cordialement.
NB : En espérant être proche de ton questionnement.
Ah non c pas ce que je voulais dire !
J'ai juste donné en exemple la loi de fourier (en 3D) et la loi de darcy (en 3D). Le seul lien qui il y a en commun c la forme de l'équation. Au fait je réfléchissait juste sur la loi de darcy pour les milieux poreux mais comme la loi de fourier est plus connue (équation de la chaleur...) je l'ai cité c tout.
Au fait l'application associée à K part de l'espace de dimension 3 des vecteurs grad(h) (donc en (m/m) ou sans unité) vers l'espace de dimension 3 des vecteurs vitesses (en m/s). Les coefficients de la matrice K sont donc en (m/s).
Mais sinon je suis d'accord avec ça ne voudrait rien dire à priori de mélanger les unités comme dans un même espace (du moins tant qu'on calcule pas des normes...)
Désolé de ne pas avoir été assez clair ^^
