quelques questions et explication topologie

[invite397ab838]

Bonjour,
Je suit un cours de topologie et j'ai néanmoins quelque question qui me turlupine; j'espère donc que vous pourrez m'apporter vos lumières afin de mieux comprendre d'avance merci.
Première question que je me pose, c'est un peu une question de méthodologie Comment trouver la distance associés à une norme(je sais que la distance D associés à une norme N, alors D(x,y)=N(x-y) Certes mais si j'ai une norme, comment trouver sa distance associés ?
Et inversement, si j'ai une distance, comment trouver sa norme associés si elle existe ? par exemple si j'ai la distance usuelle de 1er degrès(ou 2 ou... j'ai mis 1er dgrès car c'est le cas qui semble être le plus simple)

2eme question, qu'est ce que la distance et norme uniforme ?

Merci
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[gg0]

Bonsoir.

1) distance associée à une norme : Tu as donné la réponse dans la question !! Que cherches-tu de plus que la définition : d(x,y)=N(x-y) ?
1 bis) si j'ai une distance, comment trouver sa norme associés si elle existe ? A priori il n'y a pas de raison qu'il puisse être question de norme : On ne parle de norme que pour les espaces vectoriels ! pas de vecteurs, pas de normes. Maintenant, si tu es sur un EV, que tu soupçonne que la distance est associée à une norme, la même définition te donne la clef : N(x)=N(x-0)=d(x,0). Il ne te reste plus qu'à examiner si d(x,0) est une norme.
Je ne sais pas ce que veut dire "la distance usuelle de 1er degrès" !

2) Sans contexte, je ne sais pas. Je sais ce qu'est la norme uniforme sur un espace de fonctions, peut-être est-ce ce dont tu veux parler. Par exemple dans l'espace vectoriel des fonctions continues sur [0;1], on définit une norme (appelée norme uniforme) par . la distance uniforme est alors la distance associée à cette norme. Cela a à voir avec la notion de convergence uniforme des suites de fonctions.

Cordialement.

[invite397ab838]

Une petite question d'un exo;
soit(E,d ) un espace métrique et X un ensemble non vide, on note F(X,E) l'ensemble des applications de X dans E Pour f,g dans F(X,E), on pose
D(f,g)=sup _{xappartient à X},min (1,d(f(x),g(x)))

Montrer que D(f,g) est une distance sur F(X,E)

il faut donc prouver les 4 propriété qui définisent une distance:
D(f,f)=D(f,g)=sup _{xappartient à X},min (1,d(f(x),f(x)))=D(f,g)=sup _{xappartient à X},min (1,0) car d est une distance donc pour tt x
D(f,f)=0 Ok

ii)D(f,g)=0 équivaut à D(f,g)=sup _{xappartient à X},min (1,d(f(x),g(x)))=0 équivalent à sup _{xappartient à X},min (1,X)=0 donc X=0 ddonc d(f(x),g(x))=0 or d étant une ditance celà signifie que f(x)=g(x)

iii)a t-on la symétrie ?
D(f,g)=sup _{xappartient à X},min (1,d(f(x),g(x))) or d(f(x),g(x))=d(g(x),f(x)) d'ou D(f,g)=sup _{xappartient à X},min (1,d(g(x),f(x)))=D(g,f) d'ou la symétrie est vérifiée


iv) inégalité triangulaire est elle vérifiée pour D(f,g)

et la j'ai un peu de mal; je me lance tout de même

D(f,z)=sup _{xappartient à X},min (1,d(f(x),z(x)))
D(f,g)+D(g,z)=sup _{xappartient à X},min (1,d(f(x),g(x)))+sup _{xappartient à X},min (1,d(g(x),z(x)))
or d(f(x),z(x))<= d(f(x),g(x))+d(g(x),z(x))

mais je vois pas comment avancer la en fait, pouvez vous m'aider ?

merci

[Mocassins]

En fait, pour montrer que trois ensembles qui possèdent un sup vérifient , il suffit de montrer (en "remarquant" que , avec ) que pour tout élément de , il existe un élément
de tel que .

Ici, les rôles de sont respectivement interprétés par , et et pour , l'élément appartient bien à .
Il te suffit donc de montrer que pour quelconque dans :

.


Tu peux faire une distinction des cas:
-si , alors .
Peut-on comparer et , et , et ?
-si , alors . Mêmes questions avec .


Ca me semble un poil compliqué mais je ne vois rien d'autre pour l'instant.

[A voir en vidéo sur Futura]

[Mocassins]

Petite erreur: c'est et non ""