topologie continuité

[invite4680bd1a]

bonjour j'ai un exo et je suis pas trop trop sure de moi du tout donc le voici, peut etre pourrez vous m'aider...

Soit E un ensemble non vide, A ETB deux parties de E, non vides et distinctes

1) Demontrer que T={vide, E, A,B AUb,A inter B , A|B}

Jusqu'à la pas de probleme

Mais voici
2)
Soit f :E->R défini comme suit;
f(x)=1 si x appartient à A|B
f(x)=-1 si X appartient à AinterB
f(x)=0 sinon
f est elle une application continu de (E,T) dans l'ensemble des réels muni de sa topologie usuelle ?

Bon déja je sais pas trop ce que c'est que l'ensemble des réels

J'ai fait ça pour l'instant mais ça me semble pas très correct

f est continu ssi pour tous V appartenant à R
f-1(V)={x appartenant à E tq f(x) appartient à V} appartient à T

Ainsi f-1(1)={x appartenant à E tq f(x)=1}=A|B qui est bien dans T
f-1(-1)=Ainter B qui est bien dans T
f-1(0)= E|((A|B)union(A inter B)=E|A qui n'appartient pas à T

Donc f n'est pas continue car on a trouver V appartenant à R tq f-1(V) n'appartient pas à T

Est ce juste ? ça me parait un peu simple mais bon ...
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[invite179e6258]

telle quelle la question 1 n'a pas de sens. je suppose que c'est "démontrer que T est une topologie"

pour 2) il faut savoir ce qu'est la topologie usuelle sur R. C'est celle qui est engendrée par les intervalles ouverts. Il suffit de montrer que l'image réciproque d'un intervalle ouvert appartient à T.

[invite4680bd1a]

Bah alors je vois pas comment faire du tout alors

Soit V un ouvert de R donc un intervalle du type ]a;b[
f-1(]a,b[)={x appartenant à E tq f(x)=]a,b[}

Mais après comment puis je avancer ?

J'ai du rater quelque chose non ?

[invite179e6258]

et d'un, un ouvert n'est pas nécessairement un intervalle.

en fait on s'en fiche des intervalles. tu prends un ouvert de R, son image réciproque par f va dépendre du fait qu'il contienne 1, -1 ou 0. Ca fait 8 cas, mais ce n'est pas la peine de les discuter en détail je pense.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite4680bd1a]

Oui mais si U, mon ouvert de la topologie usuelle de R contient 0n on va retrouver le cas
f-1(U)= E|((A|B)union(A inter B)=E|A qui n'appartient pas à T non?

je suis vraiment perdu en fait je crois...

[invite5150dbce]

Tu sais que f^-1 est sympathique avec union, intersection et complémentaire

Que peux tu dire des 4 cas suivants :
* f^-1({i}) , i dans {-1,0,1}
* f^-1(J) J ne contenant aucun des éléments de {-1,0,1}

Tu n'as plus qu'à écrire tes ouverts de IR en fonction de ces 4 éléments et des opérations union, intersection
La topologie de IR n'étant pas précisée, fais le sur P(IR) qui est plus fine que toutes les autres, ça impliquera ton résultat sur toute topologie de IR

[invite4680bd1a]

Mais n'est ce pas ce que j'ai fait ?


f-1(1)={x appartenant à E tq f(x)=1}=A|B qui est bien dans T
f-1(-1)=Ainter B qui est bien dans T
f-1(0)= E|((A|B)union(A inter B)=E|A qui n'appartient pas à T
f-1(J) J ne contenant aucun des éléments de {-1,0,1}={x appartenant à E tq f(x) différent de 1;-1 ou 0}=vide appartenant à T

Est ce bon jusqu'a la ?

[invite5150dbce]

En effet je croyais qu il y avait un probleme vu le nbre de reponses ci dessus mais en effet l image reciproque de 0 n est pas dans la topologie
Donc tu prends un ouvert de IR qui contient 0 mais pas 1 ni -1
Et tu es obligé de travailler dans la topologie usuelle aussi
Donc t as bon

[invite5150dbce]

En effet je croyais qu il y avait un probleme vu le nbre de reponses ci dessus mais en effet l image reciproque de 0 n est pas dans la topologie
Donc tu prends un ouvert de IR qui contient 0 mais pas 1 ni -1
Et tu es obligé de travailler dans la topologie usuelle aussi
Donc t as bon

Enfin dans le sens où tu prends pas {0} pour V on est d accord ?

[invite4680bd1a]

oui car {0} est un fermé

c'est ça ?