Bonjour,
J'ai dû mal à comprendre la proposition suivante :
Soit f une fonction définie sur un intervalle I et x0 appartient à I.
Si f est une solution de y'=sin(y) vérifiant f(x0) différent de 0 alors f ne s'annule pas (c'est-à-dire pour tout x appartenant à I, f(x) différent de 0).
Quelqu'un pourrait-il m'expliquer pourquoi cette proposition est vraie ?
Merci d'avance !
ok je ne sait pas si vous avez étudiez les DL MAIS bon : si f est une solution non nulle sur un intervalle I et si x dans I vérifie f(x) diff de 0 alors
f' = sin(f) diff 0
dans un voisinage de x : f(x + h) = f(x) + hf'(x) ... ne sera jamais nul ... donc si on prolonge de voisinage a voisinage notre fonction ne s'annulera jamais
je sais c un peu louchej'éspére que tu trouveras une meilleur idée !
C'est une conséquence du théorème de Cauchy-Lipschitz (qui peut s'appliquer à cette équation), et du fait que la fonction nulle est solution pour la condition initiale f(x1) = 0.Envoyé par Lenalee
Donc si f est une solution de l'équation qui vérifie f(x1) = 0, alors, d'après l'unicité donnée par le théorème de Cauchy-Lipschitz, on a f(x0) = 0
Merci pour vos réponses !
@Tryss
En fait la solution de y'=sin(y) vérifiant f(x0) différent de 0 ne s'annule pas, mais la solution de y'=sin(y), f(x0) =0 elle, elle s'annule ? C'est ça ?
Elle fait plus que "s'annuler", elle est nulle partout. 0 = sin(0)
Pour mieux comprendre intuitivement ce qui se passe, il faut comprendre que le théorème de Cauchy-Lipschitz dit que les graphes des solutions de l'équation (sans condition initiale) forment une partition du domaine : par un point donné passe toujours une unique solution. Donc en particulier, il n'y a aucune solutions qui se coupent
Ici, comme la fonciton nulle est solution, il n'y a aucune autre solution qui la coupe, donc aucune autre solution ne passe par 0
Je pense avoir compris !
Merci pour ton aide Tryss !
