Groupes

[invitecbade190]

Bonsoir à tous,

J'essaye d'apprehender la notion de présentation d'un groupe à travers sa définition en toute généralité, qui est la suivante, que je vous demande de m'expliquer à l'aide d'un exemple concret :

Definition :
Soit un groupe.
Une présentation de est un couple , où :
- est un ensemble muni d'une application tel que : .
- est une partie du groupe libre engendré par , telle que

est par définition, le sous groupe distingué de engendré par .

Nous avons en particulier, un isomorphisme de groupes : .

En fait, je sais, d'après : Wikipedia, que la notion de présentation d'un groupe , consiste à se donner une liste de lettres, et une liste minimale de mots de cet alphabet, tel que chaque mot est censé valoir dans le groupe.
Par exemple :
Le groupe de présentation est engendré par , est d'ordre , est d'ordre , et et commutent, mais, je n'arrive pas à voir le lien entre cet exemple, et l définition abstraite que j'ai donné çi-dessus.

Questions :

Est ce juste, que la notion de groupe libre n'est autre qu'un ensemble de relations et non un ensemble de points comme j'avais l'impression avant ?
A quoi correspondent et dans cet exemple ?
Comment sont définies et dans cet exemple, en exhibant la relation d'équivalence qui définit le quotient ?

Merci d'avance pour votre aide.
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[Seirios]

Bonsoir,

Un groupe peut s'écrire comme le quotient d'un groupe libre par un sous-groupe distingué (c'est une conséquence de la propriété universelle des groupes libres). Si est une base libre de et que est engendré (en tant que sous-groupe distingué) par des éléments (vus comme des mots réduits sur ), alors on dit que est une présentation de . Bien sûr, un groupe admet de nombreuses présentations différentes et certaines sont plus simples que d'autres.

Donc ici chaque objet a un rôle plutôt clair : Si l'on note la projection canonique, un isomorphisme et , alors est un morphisme surjectif envoyant sur une partie génératrice de et dont le noyau est .

Ceci est une vision des choses qui me semblent plus simple (mais équivalente à ce que tu énonces).

Prenons quelques exemples :

1) Le groupe libre de rang : On peut prendre , , , , , si bien que est une présentation de . Mais en est une autre.

2) Le groupe libre abélien de rang , : On peut prendre , , le sous-groupe dérivé, ie. le sous-groupe engendré par les commutateurs, . Donc (où et parcourent l'ensemble des mots possibles) est une présentation de . Tu peux également montrer que est engendré (en tant que sous-groupe distingué) par seulement les commutateurs sur les générateurs, d'où une présentation plus simple .

3) Le groupe des entiers modulo : est par définition le quotient de par , donc on trouve tout de suite la présentation .

Intuitivement, on par d'un groupe libre, qui est un groupe "sans relation", et on lui en ajoute ; d'un point de vue algébrique, cela revient à quotient le groupe libre.

[Seirios]

Une référence que je me rappelle avoir appréciée est "Presentations of groups" de D. L. Johnson (les chapitres 1 et 4 devraient t'intéresser).

[invitecbade190]

Bonsoir,
Merci @Serios, pour ces précisions que je réussis quant même à comprendre sans beaucoup de peine.
En réalité, mon problème se situe au niveau du lien qui existe entre cette image superficielle avec laquelle on conçoit une présentation d'un groupe, c'est à dire une présentation, qui est un ensemble de lettres suivis de relations ... etc, et le cadre théorique dans lequel se situe cette notion. J'ai du mal à saisir cette notion à partir de la définition que moi, j'ai donné, et non celle que toi tu as donné
D'abord, comment est définie et comment savoir que est son noyau, et est ce une coïncidence qu'il soit distingué ?
Est ce qu'on choisit de quotienter par le sous groupe "distingué", , pour la simple raison de passer au quotient et seulement pour cette raison, ou bien il y'a une autre raison qui permet cela ?
De quoi est composé une classe de , ça doit être un truc comme ça , avec , mais un élément de s'écrit comment ?

... Beaucoup de questions d'un seul coup, je sais que ça t'ennuie un peu, je m'en excuse.

Merci d'avance.

[A voir en vidéo sur Futura]

[taladris]

D'abord, comment est définie

Un morphisme de groupes induit un morphisme de groupes by . Tu devrais jeter un oeil a la propriete universelle des groupes libres.

et comment savoir que est son noyau.

C'est la definition de . Plus precisement, on pourrait definir une presentation de groupe comme un couple (S,T) ou T est le noyau de (reste de la definition inchangee). Mais il est plus simple (pour ecrire la presentation du groupe notamment) et equivalent de ne considerer qu'une ensemble R qui engendre T.

et est ce une coïncidence qu'il soit distingué ?

Le noyau d'un morphisme de groupes est toujours distingue.

Est ce qu'on choisit de quotienter par le sous groupe "distingué", , pour la simple raison de passer au quotient et seulement pour cette raison, ou bien il y'a une autre raison qui permet cela ?

Je ne comprends pas. En general, si on choisit de quotienter, c'est pour passer au quotient . La raison pour laquelle on veut quotienter est d'obtenir un isomorphisme de groupes. Le but de la presentation de groupes est d'obtenir un groupe isomorphe a G mais a priori plus simple a manipuler. C'est une sorte de standardisation des groupes. Par exemple, on remplace le groupe dihedral (dont les elements sont des transformations du plan) par le groupe , objet purement algebrique.

Cordialement

[Seirios]

Tu devrais prendre quelques exemples simples pour regarder ce qui se passe.

Un morphisme de groupes induit un morphisme de groupes by .

Petite erreur d'inattention : Une application induit une morphisme etc.

[invitecbade190]

Merci beaucoup à vous deux @taladris et @Seirios pour m'avoir aidé.
Cordialement.

[invite179e6258]

sur ce sujet il y a un livre un peu ancien mais encore intéressant, de W Magnus (quelque-chose comme "combinatorial groups").

[taladris]

Petite erreur d'inattention : Une application induit une morphisme etc.

Arf oui. S n'est meme pas un groupe. Merci pour la correction.