Besoin d'aide pour le calcul d'une fonction de Green 2D

[invite1da1bf86]

Bonjour,
Je suis étudiant en physique actuellement en stage et je viens solliciter l'aide de mathématicien pour un petit problème je rencontre dans mes calculs. En fait j'aimerais, si vous en avez le courage de trouver une erreur dans mon raisonnement.
Mon but est de calculer la fonction de green de l'équation suivante à 2 dimensions:

Je passe en mode de fourier 2D, pour la fonction de Green G on aura:

soit en repassant à la transformée inverse:

Pour non nul fixé, je le choisie comme axe de référence pour une paramètrisation en polaire en demi plan:

Que je peux réécrire:

Soit:


où est la transformée de fourier inverse à une dimension.

On sait ensuite par propriété des transformée de fourier que

Donc





Si on revient à notre fonction de green on va donc avoir en séparant l'intégral sur la partie positif et négatif du cosinus:


En faisant un changement de variable dans la deuxième intégrale on se rend compte que le résultat est zéro! C'est que n'est pas possible évidement. Donc si vous avez eu le courage de lire jusqu'ici et que vous voyez une erreur dans le raisonnement, pourriez vous me l'expliquer s'il vous plaie ?

Je peux aussi remarquer qu'au lieu de prendre une paramétrisation de 0 à pour , j'aurais pu choisir de à , alors le résultat aurait été:

puisque le cosinus est toujours positif sur cet intervalle. Et cette solution est clairement non nulle. Bref je ne comprend rien, Aidez moi!

Merci pour votre lecture et votre aide future !



Bonne soirée
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[albanxiii]

Bonjour,

Votre équation homogène porte-t-elle un nom (avec c'est l'équation de Helmholtz...) ?

@+

[albanxiii]

Re,

Je viens de jeter un œil dans "Mathematical methods for physicists" de Arfken et Weber. Pour eux, est une équation de Helmholtz.

Dans votre cas, , ils donnent comme fonction de Green 2D où est une fonction de Bessel modifiée de seconde espèce.

En espérant que cela vous aide.

@+

[invite1da1bf86]

Bonsoir, merci pour cette réponse. Le nom de l'équation est bien Helmoltz modifiée et la solution est connue en effet.
Mais mon problème n'est pas de connaitre la solution mais de comprendre pourquoi mon raisonnement ne marche pas afin de ne pas le reproduire à l'avenir. Pour prouver que la fonction bessel modifiée de seconde espèce est la solution, on ne passe pas par fourier il me semble.

Bien à vous et merci encore

[A voir en vidéo sur Futura]