Somme amalgamée de deux groupes

[invitecbade190]

Bonjour à tous,

Pourriez vous m'expliquer comment se construit la somme amalgamée de deux groupes et au dessus d'un groupe qui se note : . ?
Mon cours ne fait qu'évoquer la propriété universelle qu'il vérifie sans préciser comment il se construit. Il y'a une définition à l'aide des limites inductives, mais elle n'est pas pratique.

Merci d'avance.
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[Seirios]

Bonsoir,

La somme amalgamée se comprend assez bien en terme de présentation. Si et sont des morphismes injectifs, alors une présentation de la somme amalgamée est si et sont des présentations de et respectivement.

Intuitivement, on assemble les groupes et (ie. on fait un produit libre) en identifiant les copies de dans ces groupes données par les morphismes et (ie. on quotiente par les relations où parcourt tout ).

[invitecbade190]

Bonsoir Seirios :
Merci d'avoir pris un peu de ton temps pour me répondre.
En fait, je ne sais pas encore comment se construit le produit libre de deux groupes et : . Il n'y'a pas ça dans mon cours malheureusement. Peux tu me l'expliquer stp en détail ? Parce que, je ne comprends pas ce que tu entends : assembler et en identifiant les copies de dans et par les morphismes et ?.
On considère quelle relation d'équivalence ? Celle - çi :
?
et appartiennent - ils à quel ensemble ?
Merci d'avance.

[Seirios]

Ma dernière phrase n'est qu'une interprétation de la présentation du groupe que j'ai donnée, donc c'est avant tout la présentation qu'il te faut comprendre.

Le produit libre est une somme amalgamée sur le groupe trivial, donc il y a une propriété universelle et une présentation analogue (par exemple, ). Une autre manière de voir les choses est de dire que est le groupe des mots de la forme où , et .

En particulier, .

[A voir en vidéo sur Futura]

[invitecbade190]

Merci beaucoup Seirios. J'ai bien compris maintenant.

Une autre question, si ça ne te dérange pas :
Pourquoi la somme amalgamée de deux groupes et au dessus du groupe , muni des morphismes de groupes , et peut être vue comme la limite inductive d'un système inductif à déterminer ?
Je ne sais pas si tu es habile un peu à la notion de limite inductive, mais, bon, ça fait partie malheureusement de mon cours.
Voiçi une explication détaillée à l'aide d'un joli exemple ( pour que ça t'aide à comprendre un peu le contexte )
http://www.les-mathematiques.net/pho...206#msg-760206

Merci d'avance.

[Seirios]

Je n'ai jamais vraiment utilisé les limites inductives, mais il me semble que est la limite inductive du système formé des groupes et des morphismes injectifs , .

(D'ailleurs, il me semble que c'est le point de vue adopté par Serre dans Trees.)

[invitecbade190]

Bonsoir,

Merci pour ces précisions @Séirios.
Est ce que tu sais répondre à la question suivante :
C'est écrit vers la fin de la page suivante :
http://www.les-mathematiques.net/pho...,873938,page=2
C'est autour de la classification des objets que j'ai signalé, dans la catégorie des groupes.

Merci d'avance.

[Seirios]

Je ne suis pas sûr de comprendre la question : tu cherches à savoir quand ces groupes peuvent être isomorphes ? Dans tous les cas, les deux derniers groupes n'ont de ses que si on les suppose inclus dans un troisième groupe.

[invitecbade190]

Bonjour @Seirios :
Non, j'ai reformulé bien ma question sur la page suivante : http://www.maths-forum.com/showthrea...358#post967358
Regarde le dernier poste.
Merci d'avance.
Edit : Oui et sont deux sous groupes d'un groupe .