Bonjour,
Je bute sur la démonstration qui consiste à prouver qu'un ensemble pair ou impair a autant de parties paires qu'impaires.
Si un ensemble E a deux elements {a;b}.
ses parties impaires sont {a};{b}
ses parties paires sont {Vide};{a;b}
Cela se vérifie bien dans ce cas
Pour la demonstration à un ensemble à n éléments, on est sensé utiliser la formule du binome de Newton.
Merci par avance pour vos astuces.
Bonjour,
Le cardinal de l'ensemble des parties d'un ensemble de tailleayant un nombre pair d'éléments est
If your method does not solve the problem, change the problem.
on peut aussi le voir par récurrence sur n. Soit X un ensemble à (n+1) éléments, et x un élément de X. Parmi les parties de X, il y a celles qui contiennent x et celles qui ne le contiennent pas. Elles sont en nombre égal, puisque si Y est une partie de X qui ne contient pas x, Yu{x} contient x et tu as ainsi une bijection entre parties de X avec et sans x (il faut peut-être détailler un peu ici). Si Y a un cardinal pair Yu{x} a un cardinal impair et vice-versa. Comme l'ensemble des parties qui ne contiennent pas x est aussi l'ensemble des parties de X\x, donc un ensemble à n éléments, il a autant de parties de cardinal pair que de parties de cardinal impair. C'est vrai aussi des parties qui contiennent x à cause de la remarque précédente.
Merci pour cette réponse, Seirios,
Doit-on traiter les cas n pair et n impair?
De ce que j'ai cru comprendre il faut partir de la formule générale :
et choisir des valeurs particulières pour a et b
Si a=1 et b=1 on a
Donc il faut fixer d'autres valeurs pour a et b...
Ce que vous écrivez a t-il un rapport avec cette proposition ?Envoyé par toothpick-charlie
Car la demonstration de cette proposition ressemble à ce que vous écrivez
Pour n impair, on peut le faire directement : Passer au complémentaire est une bijection entre l'ensemble des parties paires et des parties impaires (donc même cardinal)
Et pour les cas pairs non nuls on peut découper l'ensemble des parties en deux morceaux de cardinal égal (bijection évidente) en choisissant un élément quelconque x: les parties contenant x et les autres. Et on applique le cas impair en remarquant qu'ajouter 1 permute paires et impaires.
Reste le cardinal nul...
Dernière modification par Amanuensis ; 19/10/2013 à 17h56.
Pour toute question, il y a une réponse simple, évidente, et fausse.
Si il est considéré comme un ensemble de cardinal pair, alors la propriété est fausseReste le cardinal nul...
En effet, l'ensemble vide a un sous ensemble pair (lui même) et pas de sous ensemble impair
Bon, il suffit de modifier "un ensemble non vide pair ou impair a autant de parties paires qu'impaires" pour éliminer ce cas gênant
Après plusieurs heures de réflexion, j'ai pu remarquer que si je pose a=-1 et b=1 dans la formule suivante :
alors
A partir de là, je ma demandais s'il ne fallait pas scinder l'expression en deux suivant que n-k soit pair ou impair...
As-tu lu les réponses qui t'ont été données précédemment ?
If your method does not solve the problem, change the problem.
Oui et je les prends ou les laisse en fonction d'une part de ce que je peux en comprendre et de leur éclairage, d'autre part en fonction de l'orientation que je souhaite donner à ma demonstration qui est : "en utilisant le binome de Newton"
Bonjour,
J'ai voulu suivre T.Charlie dans sa démarche d'un raisonnement par récurrence.
Je suppose vrai à l'ordre n-1 et je regarde ce que cela donne à l'ordre n
Mais
Et la démonstration ne marche pas...
Et si tu le fais effectivement, n'arrives-tu pas à conclure ?Après plusieurs heures de réflexion, j'ai pu remarquer que si je pose a=-1 et b=1 dans la formule suivante :
alors
A partir de là, je ma demandais s'il ne fallait pas scinder l'expression en deux suivant que n-k soit pair ou impair...
If your method does not solve the problem, change the problem.
En fait si je pose a=1 et b=-1 dans la formule suivante :
alors
Ceci si je le réécris différemment alors
D'où le résultat.
Rien de bien compliqué en fait...
Si n différent de 0...
Pour toute question, il y a une réponse simple, évidente, et fausse.
Peut-on trouver des parties à l'ensemble vide ?
Une seule : l'ensemble vide ! Ce cas a été discuté un peu plus haut.
If your method does not solve the problem, change the problem.
Le point était surtout que la démo que vous donnez contient 0^n=0, ce qui n'est correct que si n>0
Pour toute question, il y a une réponse simple, évidente, et fausse.
Donc on a bien cohérence entre la définition de l'ensemble vide qui ne contient pas de partie de cardinal impair (dixit Seirios) et l'application de la formule du binome de Newton au cas n=0 (dixit Amanuensis) car alors
qui en est l'interprétation "formulatoire".
Merci aux différents participants pour leur éclairage repectif.
Lorsque j'ai ouvert cette discussion, la formule du binome de Newton ne représentait rien (si ce n'est l'image de Newton avec sa perruque).
3 jours plus tard, je n'en reviens toujours pas de la "puissance" et de la "richesse" de la formule du binome de Newton!
Cette formule permet aussi bien de faire du dénombrement que de retrouver des formules ultra-connues comme
Pour moi, cette discussion est terminée.
si ce sujet te fascine, tu peux essayer de retrouver toutes les formules de récurrence qui permettent de calculer les coefficients binomiaux, comme celle du triangle de Pascal (mais il y en a d'autres). A chaque fois, on peut les démontrer par un calcul direct, ou on peut tenir un raisonnement sur les cardinaux des ensembles de parties dont les coefficients binomiaux sont les cardinaux.
Oui, Toothpick-Charlie, je suis "émerveillé" par la découverte de cette formule.
n=2 et on a le développement de
n=0 et on a les propriétés de l'ensemble vide.
a=b=1 et on a
a=-b=1 et on a le résultat de cette discussion.
Reste comme tu dis les formules de récurrence et l'application au triangle de Pascal.
