Notation trigonométrique d'un nombre complexe

[invite9c5f7482]

Bonjour,on m'avais donné cet exercice :

On considère les nombres complexes z1= √6-i√2; z2=-2(1+i); z3= z1/z2.
a) exprimer le nombre complexe z3 sous forme algébrique.
b)écrire les 3 nombre z1, z2,z3 sous forme trigonométrique.
c)En déduire les valeur respective de cos( 7π/12) et sin(7π/12).

Moi j'ai trouvé que z3= (-√6+√2)/4 + (i√6+i√2)/4 (forme algébrique)
Et j'ai déduis que cosθ= -√3/2 et sinθ=1/2 (θ c'est l'angle qu'on cherche).
Donc l'angle cherché c'est 5π/6 (on est dans le premier cadran(cos négatif,sinus positif donc on applique la règle π-θ ce qui donne 6π/6-π/6).

Et la forme trigonométrique de z3 c'est z3= 1*(cos(5π/6)+ isin(5π/6)).
La forme trigonométrique de z1 et z2 c'est z1= √8*(cos(-π/6)+isin(-π/6)).
Et pour z2 c'est z2=√8*(cos(5π/4)+isin(5π/4)).
Mais dans le corrigé de cet exercice,mon professeur a écrit que argz3=arz1/argz2=argz1-argz2 et j'ai compris ce qu'il a fait après mais je ne comprend pas pourquoi la notation trigonométrique de z3 c'est z3=1(cos(7π/12)+isin(7π/12)) et non ma notation trigonométrique car ces deux angle(7π/12 et 5π/6 on le même sinus et le même cosinus).
Merci de m'éclairé sur ce point.
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[gg0]

Bonjour.

Il y a plusieurs erreurs dans ce que tu dis :
* argz3=arz1/argz2=argz1-argz2 à la place de argz3=arg(z1/z2)=argz1-argz2
* ces deux angle(7π/12 et 5π/6 on le même sinus et le même cosinus) ?? Ils n'ont ni le même sinus, ni le même cosinus.

Je ne vois d'ailleurs pas d'où tu as tiré sin θ et cos θ; je suppose que c'est là que tu as déraillé. Et sans doute aussi avant, je ne trouve pas le même résultat pour la forme algébrique (d'ailleurs la partie réelle est négative si θ vaut 7pi/12 ou 5pi/6).

Donc un exercice à reprendre en faisant très attention de bien appliquer les règles. Revois les passages d'une forme à l'autre (algébrique, trigonométrique, exponentielle, polaire).

Cordialement.

[invite4bf147f6]

Bonjour,

Pour la question 2, factorise dans z1 et z2 par leurs modules respectifs il restera des termes aisément identifiable. On déduit z3 d'angle 7pi/12. La question 3 se traite en identifiant les résultats des questions précédentes

[invite9c5f7482]

Ok merci pour ton aide,je vais reprendre ça.

[A voir en vidéo sur Futura]

[invite9c5f7482]

Ok d'accord,merci pour ton aide.

[invite9c5f7482]

Bonsoir, je penses que mon problème vient de la forme algébrique en effet,pour z3 j'obtiens :
z3 = ( -2√6+2i√2+2i√6+2√2)/8 = i(√2+√6)/4 + (√2-√6)/4 mais c'est à ce niveau la que j'ai un problème,après j'essais de simplifié par √2 car -√6= -(√2*√3) ce qui donne z3= (-√3+i+i√3+1)/2√2 mais je ne suis pas sur que c'est bon et je ne n'arrive pas a simplifier ça.

[gg0]

Mais pourquoi vouloir simplifier ?

Tes expressions sont bien assez simples pour ce qu'on veut faire. Tu as fini le a), tu peux passer au b), la forme trigonométrique de z₃ se déduisant de celles de z₁ et z₂.

Cordialement.

[invite9c5f7482]

Ok d'accord.

[invite9c5f7482]

Je pense que les forme trigonométrique z1 et z2 sont bonne,cependant même si je n'aurai pas de mal a passé trouvé la forme trigonométrique pour z3 je ne vois pas comment déterminer la valeur de l'angle sans utilisé la formule argz3= arg(z1/z2) car cos(théta)=(-√3+1)/2 ce qui ne correspond à aucun angle que je connaisse.
Enfin pour z2 théta peut être -3pi/4 ou 5pi/4 non?
Parce que mon professeur avait trouvé que z2=z2=2√2*(cos(-3π/4)+isin(-3π/4)).

[gg0]

Ben ...

c'est ce qu'on te demande de faire : Utiliser la formule de l'argument d'un quotient.

[invite9c5f7482]

Oui mais je voulais savoir comment je pouvais déterminer cet angle sans cette formule.

[gg0]

Difficilement.

Mais pourquoi ne veux-tu pas utiliser cette formule ? Pourquoi ne veux-tu pas faire ton exercice ?

Il y a des angles dont les sinus et cosinus sont simples. Si on apprends ces cas, on pourra reconnaître ces angles. Mais pas les autres. Il n'y a pas d'écriture simple de l'angle du premier quadrant dont le sinus est 1/3 (c'est pour cela qu'on utilise la fonction arcsin, qui permet de le noter). Et c'est le cas général.

Cordialement.