Géométrie non Euclidienne et tenseurs

[invite979fcc20]

Salut

est il possible de comprendre la géométrie non euclidienne sans avoir recourt aux calcule tensoriel ?
si c'est le cas es ce qu'il y a des cours qui l'abordent sans notion de tenseur ?

Cordialement
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[Amanuensis]

Il y a de grandes branches de géométries non euclidiennes qui sont présentées sans tenseurs, comme la géométrie sphérique.

Les tenseurs apparaissent essentiellement avec la géométrie différentielle. Doit être difficile de trouver un cours de géo diff sans les tenseurs.

Et une autre remarque: les tenseurs sont un peu partout, y compris en euclidien, très souvent sous une forme déguisée. Plutôt qu'essayer d'éviter les tenseurs, il me semble plus profitable de les prendre de front et de voir comment ils s'appliquent dans des cas déjà connus, c'est une manière de les apprivoiser...

[invite979fcc20]

Plutôt qu'essayer d'éviter les tenseurs

c'est contraire à mes plans bien au contraire je suis entrain de lire un livre sur les tenseur dans le but de comprendre les géométrie non euclidienne (et par la suite la RG) donc je pensais que j'étais entrain de perdre mon temps mais le fait qu'il soit aussi important ça m'encourage d'autant plus.

Cordialement Dorio

[Amanuensis]

Peut quand même être utile (et complémentaire) de se pencher sur la géométrie sphérique et sur la géométrie hyperbolique (demi-plan de Poincaré, disque de Poincaré, etc.). Pas besoin de tenseurs, et ça permet de virer un peu de la "gangue euclidienne"...

[A voir en vidéo sur Futura]

[jacquolintégrateur]

Bonsoir
Il ne faut pas oublier que les tenseurs tiennent leur nom du fait qu'ils sont apparus, pour la première fois en théorie de l'élasticité: les contraintes , qui s'exercent autour des points d'un solide élastique, sont définies par un tenseur du second ordre (symétrique). En élasticité linéaire, la relation la plus générale entre les contraintes et les déformations (également décrites par "le tenseur de déformation pure") s'exprime en faisant intervenir un tenseur du quatrième ordre: le tenseur de rigidité. Naturellement, on les retrouve dans toute la mécanique des milieux continus, en électromagnétique et Relativité restreinte et générale... De plus, ils constituent une généralisation des plus directes, de la notion de vecteurs (qui sont des tenseurs du premier ordre). Un physicien ne peut se permettre d'ignorer l'analyse tensorielle, encore moins de la snober !!!
Cordialement

[invite979fcc20]

Amanuensis pourriez vous s'il vous plait me conseillez une lecture traitant des sujet que vous venez e proposer parce que c'est apparemment ce que je recherche.

jacquolintégrateur oui je vois ce que vous voulez dire et je crois que je vais continuer à tenter de comprendre tout ça.

[Médiat]

Pour le calcul tensoriel, vous pouvez jeter un œil là : http://forums.futura-sciences.com/ma...ml#post4048899

[invite979fcc20]

merci médiat mais pour le calcul tensoriel j'ai un livre que suis entrain de lire si possible je cherche des cours de géométrie non euclidienne ou on fait pas appelle à des tenseurs. l'une des raison et que je veux voir les deux approches de la géométrie non euclidienne (avec et sans tenseurs).

[Amanuensis]

Amanuensis pourriez vous s'il vous plait me conseillez une lecture traitant des sujet que vous venez e proposer parce que c'est apparemment ce que je recherche.

Je n'ai rien en tête de précis. Perso, j'ai appris les rudiments de la géométrie sphérique "à la dure", par la trigonométrie sphérique et l'astronomie de position ; ces techniques sont d'ailleurs bien plus anciennes que la notion même de géométrie non-euclidienne. Pour la géométrie hyperbolique, on trouve plein de choses sur le web, en recherchant sur les mots clé.

[invite979fcc20]

merci Amanuensis pour le moment je vais essayer de comprendre les tenseurs. je verrais le reste après parce que si je continue comme ça je ne ferai rien.

[invite47ecce17]

Bonjour,
Je donne dans quelques jours une conf (basique, dans un seminaire de doctorant) sur quelques questions de geometrie differentielle. Je suis en train de taper des notes où je reprend beaucoup de choses basiques (qui n'usent que tres peu, en tout cas pas de manière virtuose du tout le langage tensoriel*), si j'en fait qqch de presentable je les posterai ici ca peut eventuellement t'interesser.

*Juste besoin de connaitre le definition de produit tensoriel en fait.

[albanxiii]

Bonjour MiPaMa,

Cela n'intéressera pas que DorioF...

@+

[invite47ecce17]

Bon, je crois que j'ai été un peu optimiste, en relisant le debut de mes notes, je m'apercois qu'il risque d'etre difficile de s'en servir comme introduction (notement parce que je parle de groupe de Lie et que je n'introduit pas trop le sujet, mais meme sans ca...), je poste le debut du truc (qui est presque vide, mais ca vous donnera une idée), si cela interesse qqun (je dois le finir de toute façon) je posterai eventuellement le produit fini.

Je n'exclus pas dans un second temps de l'"etoffer" en le rendant plus user friendly. (c'est censé etre un texte du support a une conf que je fais a l'oral et ce sera beaucoup moins abrupt à l'oral, avec moi au tableau, c'est pourquoi je pensais que ce serait utilisable, mais en l'etat c'est trop aride).

[invite86150b1a]

Bonjour,
Julia, à la lecture de ton document, il y a quand même une question qui m'intrigue. Quand je te vois parler de groupe de Lie, et de fibrés principaux, j'ai l'impression que tu ne parle pas du tout des mêmes objets, que je crois pourtant bien connaitre. J'aimerai savoir comment faire pour spécialiser ce genre de considérations à des choses très pratiques sur les sous groupe de . Je n'ai suivi qu'un cours sur de tels sous groupes, et j'ai l'impression que ça n'a rien à voir avec la théorie que tu exposes.

Deux autres choses : Il y a pas mal de fautes de frappes dans ton truc, ça rend la lecture quelque peu pénible.
A un moment tu dis que toutes ces considérations sont reliées aux questions physiques de roulement sans glissement. Pourrais tu détailler ce point ?

P.s : Tu as changé d'adresse mail ?

[invite47ecce17]

Coucou,
Je dois avouer que je comprend pas trop trop ta question. Un groupe de Lie qui est un sous groupe fermé de Gl_n est un groupe de Lie, dit linéaire. Tout ce qu'on y fait dessus est un cas partiulier de la theorie generale des groupes de Lie. Je t'accorde qu'il n'y a pas beaucoup d'exemple de groupes de Lie non linéaires (en fait je crois que je n'en connais pas; edit: Si en fait j'en connais! Et important en plus!). Mais je ne connais pas de phénomène qui soit specifique au groupe de Lie linéaires et qui ne relevent pas de la theorie generale des groupes de Lie.
D'autres part, dans mon pdf au dessus, je ne parle pas de groupe de Lie justement... enfin j'en parle, mais jamais je ne parle de theorie generale des groupes de Lie (apres c'est un sujet dont on a parlé toi et moi en MP, donc j'imagine que ton ressenti se base aussi sur ca).
Est ce que tu pourrais donner un exemple du genre de chose que tu connais sur groupes de Lie, et qui ne rentre pas dans le cadre de la façon dont je l'expose (sachant que je n'expose rien en plus dessus, mais pourrais tu exemplifier ton intriguement)?

J'essaierai de detailler cette histoire de roulement sans glissement des que 'jai un moment.

Pour le reste je te repond en MP. On est deja HS sur ce fil.

[invite86150b1a]

Je fais dévier un peu le sujet, je m'en excuse par avance. Si les modérateurs le désirent je peux créer une nouvelle discussion.

Donc, oui, effectivement, mon ressenti ne se base pas uniquement sur le pdf que tu as posté, mais également sur les discussions que nous avions eu. Je vais commencer par parler de ça, si tu le veux bien.

Commençons par quelque chose de très concret qui m'a toujours laissé perplexe. Pour un groupe de Lie linéaire, j'ai une définition très terre à terre de l'exponentielle, c'est la définition de l'exponentielle d'une matrice. C'est très concret : . Ca me permet de facilement me représenter ce qui se passe et ce qu'est l'exponentielle.

Tu m'avais donné une définition que tu qualifiais de "meilleure", que l'exponentielle d'un élément de l'algèbre de Lie d'un groupe de Lie, c'est la valeur en 1 de la solution de l’équation différentielle où X est l’élément de l'algèbre de Lie en question.

J'ai bien une petite idée de pourquoi ça ressemble a l'exponentielle, l’équation différentielle ressemble à y'=Ay, où A est une matrice, mais je suis incapable de faire le lien. Par exemple pour , tu résout explicitement l’équation à chaque fois que tu veux calculer l'exponentielle d'un élément ? Comment tu fais le lien ? Selon ta définition on ne peut pas simplement dire que c'est la limite de la série définie plus haut.

[invite47ecce17]

Re,
C'est vrai que "ma" définition est meilleur que la "tienne". Pour de multiples raisons. Apprement ce qui te chagrine c'est qu'elle parait moins "pratique à manier" que la tienne. C'est faux aussi .
Bien sur quand je veux calculer l'exponentielle d'un element concret dans un groupe concret, disons SO_n par exemple, je ne vais pas resoudre mon equation differentielle. Mais toi non plus de toute façon tu ne vas pas calculer la limite de ta série à la main!
En fait j'use probablement de la meme méthode que toi. Tu vas me dire "Tu triches!". Ben non, en fait, parce que tel que je la definie, l'exponentielle est fontorielle. Et donc si je connais l'exponentielle d'un gros groupe de Lie, je connais l'exponentielle de ses sous groupes de Lie (c'est à dire ses sous groupes fermés) par fonctorialité! Il me suffit donc de calculer l'exponentielle de GL_n, et la, on verifié bien que la formule usuelle fonctionne!
Par ailleurs, toi tu es face à un probleme avec ta définition. Comment tu prouves que si A est une matrice de so(n) alors exp(A) est dans SO(n). Il y a qqch de non trivial a dire, et si on y refelchit un petit peu, on s'appercoit que ce qui nous manque, c'est precisément cette fonctorialité de l'exponentielle, qu'il faut prouver... mais il faut le prouver avec ta definition, ce qui est peu commode, et en fait, quand on fait comme ca... on revient (sans forcement le dire de manière explicite) à "ma" definition, et a voir l'exponentielle comme une solution d'une equa diff (ou qqch du meme tonneau).
Bref, le principe de conservation des emmerdements de toute façon nous garantit qu'il n'y a pas une approche qui va être aisée de bout en bout, et une autre pénible. Si y a un truc non trivial a prouver, il va apparaitre à un moment ou a un autre.
Mais je maintiens que ma definition est plus agreable, car elle permet de faire des demonstrations plus agreable, et la fonctorialité permet de retrouver les calculs concret a partir de la resolution d'un seul cas, GL_n.
C'est en fait une manière assez sytématique de proceder.

Est ce plus clair?

[invite47ecce17]

D'autre part je te signale que ta definition ne se generalise pas aux groupes de Lie non linéaires, comme par exemple le revetement universel de SL_2. Mais ca c'est un autre probleme (dont tu as l'air conscient!)

[GrisBleu]

Bonjour

Je ne sais pas si tu (Dorio) as déjà trouve son bonheur. Personnellement, j'avais aussi eu du mal a digérer les tenseurs en début de cours de RG car souvent amenés sans une justification de leur utilité (en début de cours)
Je te recommande les livres suivants qui amènent les choses de manière pédagogique
+ "lectures note on general relativity" de S.Carrol (disponible sur le site de l'auteur)
+ "Geometrical methods of mathematical physics" de B. Schutz (payant)
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