Bonjour à tous,
Je cherche à calculer l'aire (A) sous l'intersection de 2 lois normales (de densité f1 et f2, moyennes et ecart type µ1, o1, µ2, o2).
Pour moi cela s'écrit de cette facon:
Ce qui donne donc l'expression suivante:
Et la j'ai du mal sur l'intégration, j'ai essayé de développer les différents termes, mais je ne tombe sur rien qui me soit vraiment utile...
Quelqu'un aurait une idée?
Merci
Bonjour,
- pour calculer l'intégrale. On peut par exemple écrire, en revenant au trinôme classique développé puis en regroupant les termes en x dans une seule parenthèse:, et on se ramène à un calcul plus simple.
- pour la méthode: je n'y connais pas grand chose, mais j'ai une remarque. Si la formule est correcte, alors l'aire sous l'intersection de deux lois normales identiques vaut
Bonne soirée.
C'est plutôtEnvoyé par goz
Bonjour à tous,
Je cherche à calculer l'aire (A) sous l'intersection de 2 lois normales (de densité f1 et f2, moyennes et ecart type µ1, o1, µ2, o2).
Pour moi cela s'écrit de cette facon:
Merci de vos réponses,
J'avais en fait bien développé de la façon que tu as décrite pour obtenir une seule parenthèse avec X, mais l'expression obtenue ne m'inspire pas beaucoup plus que la première pour intégrer. Je loupe un truc basique sur l'intégration avec une expression factorisée de cette manière?
Pour ce qui est de l'expresison que tu propose Tryss, je suis asez d'accord. J'avais vu quelque par cette expression:
mais je n'arrive pas trop a m'en convaincre. L'idée serait que l'aire sous la courbe représente la proba d'être à la fois sous la loi f1 et la loi f2. (en gros l'intersection de deux variables aléatoires indépendantes). Trouver l'expression analytique me permetait par la même occasion de vérifier cette affirmation dont je ne suis pas encore totalement sur...
merci
je ne sais pas ce que signifie l'expression "intersection de deux lois normales"
voila un dessin qui j'espère sera suffisant pour expliquer "l'intersection de deux lois normales" représenté par A
Donc c'est bien le minimum qu'il faut utiliser; en découpant en deux intervalles, avant et après le point d'intersection.
Cordialement.
Attention, il peut y avoir deux points d'intersections (si les écarts type sont différents). Mais ça reste simple à calculer (en passant au logarithme pour résoudre f1(x) > f2(x))
Tout à fait Thierry ... Heu ...Tryss.
J'avais déjà étudié cette solution, il y a effectivement 2 points d'intersection, vu qu'on arrive à un polynôme du second degré.
J'aurais justement voulu comparer les résultats obtenus avec la méthode du min et ceux obtenus avec la multiplication de f1 et f2 (car la deuxième solution m'arrangerait pas mal à l'utilisation). C'est pour ca que j'essayais de résoudre cette intégration.
Merci
edit: en fait j'ai trouvé cette méthode de multiplication dans un article, mais c'était très peu détaillé, et justifié de manière très succinte. J'imagine que les gens qui l'ont écrit n'ont pas fais n'importe quoi j'imagine, mais je reste tout de même un peu dubitatif sur cette méthode.
Bonjour.
dans certaines situations bien particulières, le min est noté . et le max +. Pour des valeurs booléennes 0 ou 1, min(a,b)=a.b où il s'agit bien d'une multiplication.
Mais min(2,3)=2 n'a rien à voir avec 2x3=6.
Le fait que le calcul "t'arrange mieux" n'a rien à voir avec sa pertinence.
Cordialement.
Je suis bien d'accord gg0, mais le fait qu'un calcul m'arrange mieux m'incite à passer du temps à me convaincre de sa pertinence, surtout quand je ne suis pas persuadé de sa justesse. C'est pour ca que je voulais voir cette intégrale, d'autant que la justification via des probas (probabilité de l'intersection de deux variables indépendantes donc multiplication) n'est pas absurde, même si ca me semble un peu léger pour tout justifier. J'avoue être aussi curieux de connaître la réponse... *
Cette histoire de multiplication n'est pas sortie de n'importe où et a été faite par des gens a priori relativement compétant (bien que non mathématiciens), ce qui m'incite à y croire. D'un autre coté, je reste tout de même assez prudent la dessus, car ça me semble un peu rapide comme justification. D’où l'idée de comparer les résultats de 2 méthodes différentes.
pour ce qui est de la notation, je suis certain qu'il ne s'agit pas du . pour écrire la fonction min.
Alors tu parles de quelque chose qui n'a rien à voir avec ce que tu as expliqué depuis le début. Et tu parles seul, puisque tu es le seul à savoir de quoi tu parles.
Bon, je pense que maintenant, le sujet est clos, puisque tu as eu ta réponse et sur l'intégrale (et son calcul) et sur la façon de calculer l'aire sous les deux courbes. A toi de voir ce que tu veux en faire ...
En complément :
"L'idée serait que l'aire sous la courbe représente la proba d'être à la fois sous la loi f1 et la loi f2. (en gros l'intersection de deux variables aléatoires indépendantes)" me semble être une grosse confusion entre intersection d'événements et intersections de surfaces sous la courbe de densité. La surface sous la courbe de densité ne représente une probabilité que si elle est prise dans l'intervalle (pour simplifier) entre l'axe des x et la courbe. Le cas où les deux lois ont les mêmes paramètres est instructif : On obtient 1 pour l'aire sous les deux courbes. Et
Cordialement.
ça non plus je ne sais pas ce que c'est : intersection de deux variables indépendantes
On va se détendre un peu...
Je ne vois pas en quoi ca n'a rien a voir, effectivement j'ai au fur et à mesure donné plus de précisions sur les "a coté" du problème, mais toujours est il qu'il reste le même (à savoir comment calculer cette intégrale basée sur la multiplication des fonctions de densités).
La méthode qui utilise la fonction min est sans aucun doute correcte, mais cela pose pas mal de problèmes pour ensuite l'utiliser, d’où l’intérêt que je porte à la méthode basée sur la multiplication, et donc ma question initiale.
Effectivement le message de Snowey donne des pistes quant à son calcul, mais comme je le spécifie ensuite, je ne vois pas plus ou partir lorsque l'intégrale est écrite sous cette forme.
Je ne crois pas être le seul a savoir de quoi je parle, tout est expliqué dans les messages, à savoir: j'aimerais savoir si l'intégrale de f1xf2 donne bien A, et pour cela je veux l'intégrer. Le problème est que je ne vois pas comment l'intégrer et c'est sur ce point que je demande de l'aide.
Pour : "j'aimerais savoir si l'intégrale de f1xf2 donne bien A,", je me demande vraiment si tu as lu mon message où je donne un contre exemple.
Pour la proposition de Snowey, l'utilisation des propriétés de l'intégrale pour sortir une constante (l'exponentielle de -(b²-4ac)/4a) puis un changement de variable te ramène à un calcul classique (intégrale de la fonction de Gauss). fais le calcul ...
Enfin, ce qui n'a rien à voir est la méthode que tu évoques et qui n'a pas de sens ici (la remarque de Toothpick-charlie est éclairante).
Cordialement.
Je n'avais effectivement pas lu le contre exemple (j'ai commencé à rédiger ma réponse avant la parution du message mais j'ai un peu trainé en route). Merci pour cette indication, cela clos effectivement tout débat sur cette question.
Bonjour,
Je ne sais pas si cela peut t'aider :
L'aire sous les deux courbes est le résultat de f1+(f1-f2) lorsqu'il est positif + le résultat de f2+(f2-f1) lorsqu'il est positif.
