bonjour je bloque sur une question :/
soit Q(X) un polynome de degré 4
Q(X) vérifient les conditions suivantes
ces coefficients sont réels
il admet 4 racines complexes notées z1 z1barre z2 z2barre
les parties réelles des racines ne sont pas égales entre elles
On note M1 et M2 les points d'affixes respectives z1 et z2. montrer qu'il existe un réel x tel que le point C d'affixe C vérifi CM1=CM2
Bonsoir.
Joli énoncé, un peu bizarrement écrit :
"Q(X) vérifient les conditions suivantes" Un sujet singulier un verbe au pluriel !
"ces coefficients sont réels" Ces ? où ça ? ne serait-ce pas "ses" ?
"un réel x tel que le point C d'affixe C vérifi CM1=CM2" A priori x sert à quelque chose, pas exemple d'affixe pour C; et la conjugaison des verbes du premier groupe s'apprend à 8 ans.
Venons en au sujet
CM1=CM2 donne immédiatement en élevant au carré :
|z1-x|²=|z2-x|²
En exprimant le carré de la norme comme le produit du complexe par son corrigé, on obtientr une équation en x qui a bien une solution (rappel : "les parties réelles des racines ne sont pas égales entre elles") qui est bien un réel.
Cordialement.
merci beaucoup
on me demande ensuite d'en déduire que les 4 points répresentant les 4 racines du polynomes appartiennent à un même cercle dont on précisera le centre
je sais que le centre appartient à l'axe des abscisses puisque x est un réel mais je ne parviens pas à trouver ses coordonnées :/
Ben .. tu as presque fini !
Que tu ais pris a+ib pour z1 ou a-ib, ça ne change rien à la question 1.
Autre remarque : Un cercle, c'est une question de points à des distances égales d'un centre ...
Cordialement.
d'accord merci beaucoup !
A noter : Une représentation géométrique de la question la rend évidente : le quadrilatère formé par les points qui ont pour affixe les racines est (ordonné correctement) un trapèze isocèle de bases "verticales". Si on prend deux racines non conjuguées, la médiatrice du segment coupe l'axe des x en un point qui est (facile à justifier) équidistant des 4 points, qui sont donc cocycliques.
Cordialement.
