exercice sur les fonctions polynômes de second degré devoir-maison

[couic97]

Désolé de vous demander de l'aide, et ne pensez surtout pas que c'est par flemme que je viens sur ce forum, mais après avoir manqué 3 semaines je me trouve devant ce sujet. Que dois-je faire après avoir tracé cette figure sur géogébra (c'est-à-dire, comment résoudre le problème posé?).
L'unité est le cm.
ABC est un triangle isocèle en A
AH=5 cm et BC=6 cm
M appartient [BC], N appartient à [AB], et Q appartient à [BC]

On cherche à construire dans le triangle ABC un rectangle MNPQ d'aire maximale.

Comment choisir les longueurs des côtés de MNPQ?
Merci encore!!
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[Antoane]

Bonjour et bienvenue,

ABC est isocèle, donc symétrique par rapport à (AH) (car H est probablement le pied de la hauteur issue de A ds ABC). Par suite, le rectangle MNPQ d'aire maximale sera symétrique par rapport à (AH).
Or, MNPQ est un rectangle, donc décider de où tu places Q impose la position de P.
Et comme MNPQ est symétrique par rapport à (AH), décider de où tu places Q impose la position M, donc celle de P.

En conclusion, tu n'as plus qu'à décider de où tu places Q (ou n'importe quel autre point).
Il te faut pour cela exprimer l'aire du rectangle en fonction de la position du point Q. C'est une fonction d'une unique variable, qu'il sera aisé de maximiser.
:deeepseul:

[couic97]

merci bcp pour ce debut d'idee, jai deja les idees plus claires. Neanmoins, je sais que je dois etablir une equation, avec comme inconnue x, qui representera une fonctio polynome du 2nd degre: je ne sais vraiment pas OÙ la trouver. En classe, j'ai le sopuvenir avant mon abscence d'avoir utiliser le sommet (maximun, minimum, selon le signe de a) qui s'obtient avec la formule -b/2a. Mais à part celà, je n'arrive VRAIMENT pas à l'appliquer au problème. Je suis presque sûr que notre prof. cherche à ce que nous dressions un tableau de variations avec les coordonnées de ce sommet au milieu (qui nous donneront en fait l'air maximal, en tant que sommet, si nous sommes devant un maximum).
Merci encore et désolé de vous re-demander votre aide,
R.

[Antoane]

Très mauvaise méthode que la tienne : tu sais (ou crois savoir) que ton devoir porte sur les PD2, donc tu cherches où tu pourrais caser les formules (-b/2a, b²-4ac...) que tu connais.

C'est une erreur : il faut partir du problème et le résoudre comme il vient. S'il se trouve qu'à un moment tu as besoin de ces formules, tu t'en rendras compte. Mais d'ici là, ne cherche pas à les caser à tous prix.

Donc suis les conseils donnés en #2, en faisant des dessins (à la main ou sur un logiciel peu importe) pour bien comprendre le problème.

[A voir en vidéo sur Futura]

[couic97]

ok! neanmoins apres ce que vous mavez expliquer (cest-à-dire que l'aire depend de l'emplacement d'un point) je ne sais plus dans quelle direction aller. Je ne veux pas demander que l'on me fasse le travail à ma palce ni loin de là, mais un peu d'aide supplémentaire me serait indispensable.
Merci encore,
R.

[couic97]

je suis bloqué: j'ai obtenu le calcul de l'aire du rectangle, en fonction de BM (noté x), et je me retrouve devant (5x/3)*2*(3-x). Que faaaire?¿!!

[Antoane]

La méthode est toujours la même : tu secoues bien fort l'équation jusqu'à trouver qqch qui te convienne...
Tu peux essayer de développer, de factoriser...

Envoies tout ton raisonnement, il me semble qu'il y a une erreur.

[couic97]

Dans notre exercice, nous sommes dans un triangle isocèle en A, dont la longueur de la
hauteur [AH] vaut 5 cm et dont l’un des côtés (celui opposé au sommet), [BC], a une
longueur de 6 cm. Dans ce triangle, M appartient à [BC], N à [AB] et Q à [BC] (ce qui nous
permettra d’utiliser Thalès postérieurement).L’équivalent de [AM] de l’exercice VII est
[BM].
Avant de commencer, nous allons nommer l’aire cherchée (c’est-à-dire celle du
rectangle MNPQ) A(x). Nous allons également appeler x la longueur BM.
Nous constatons que [BM] peut varier de B jusqu’à H, ce dernier étant le pied de la
hauteur issue de A. BM varie donc de 0 à 3 cm (BC vaut 6 cm).
Contrairement à l’exercice précédent, nous avons déjà la longueur de la hauteur, alors
nous pouvons passer directement à exprimer MN en fonction de x. Nous savons que
B,N,A et B,M,H sont alignéset que (MN) et (AH) sont parallèles (toutes les deux sont
perpendiculaires à (BC), donc elles sont parallèles entre elles). Donc, d’après le
théorème de Thalès, nous avons :
BN/BA=BM/BH=MN/AH
Nous ne connaissons pas BN ni BA alors nous allons nous contenter de faire l’application numérique avec BM/BH et MN/AH : MN/5= x/3 d’où 3MN=5x et MN=5x/3
Maintenant, nous pouvons déterminer A(x). L’aire du rectangle se calcule avec la formule L*l ou Largeur*longueur. Dans ce cas-là, nous calculons l’aire grâce au calcul MN*MQ.
Nous savons déjà que MN vaut 5x/3. Reste à déterminer MQ.
Comme ABC est un triangle isocèle et que MNPQ est un rectangle inscrit dans ce triangle, nous pouvons déduire que QC=BM. D’autre part, on sait que MH vaut 3-x et de même pour HQ. Nous pouvons donc dire que MQ vaut 2*(3-x).
Donc, l’aire de MNPQ vaut (5x/3)*2*(3-x) = (5x/3*6)+(5x /3*(-2x)) = (30x/3)-((10x^2)/3)
= 10x-10x^2/3

[Antoane]

Bonjour,
Pas le temps de vérifier mais ça a l'air ok.

Tu connais A(x) et tu en cherches le max, comment ?